Закон сохранения момента импульса
Закон сохранения момента импульса позволяет находить параметры вращения системы без подробного рассмотрения всех внутренних сил. Он особенно полезен, когда внешнего момента сил нет или его действие за выбранный промежуток времени можно считать пренебрежимо малым: например, при вращении фигуриста, столкновении дисков или движении спутника.
Момент импульса и его физический смысл
Момент импульса характеризует вращательное движение тела относительно выбранной точки или оси. Для материальной точки он зависит от её массы, скорости и расстояния до оси. В векторной форме момент импульса относительно точки \(O\) равен векторному произведению радиус-вектора на импульс тела.
Если точка движется по окружности радиуса \(r\), а скорость перпендикулярна радиусу, то модуль момента импульса равен \(L=mvr\). Для вращающегося твёрдого тела удобнее использовать момент инерции \(I\) и угловую скорость \(\omega\): \(L=I\omega\). Подробнее свойства \(I\) рассматриваются на странице момента инерции.
Момент импульса тела относительно точки или оси — физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора тела на его импульс. Для вращения вокруг неподвижной оси \(L=I\omega\).
Закон сохранения момента импульса
Из динамики вращательного движения следует: производная момента импульса по времени равна суммарному моменту внешних сил. Поэтому изменение момента импульса вызывается именно внешним моментом, а не внутренними силами системы.
Если суммарный момент внешних сил относительно выбранной точки или оси равен нулю, момент импульса системы сохраняется. Для начального и конечного состояний это записывают так:
В замкнутой системе, для которой сумма моментов внешних сил относительно выбранной точки или оси равна нулю, полный момент импульса сохраняется: \(\vec L_1=\vec L_2\).
Важно указывать, относительно чего берётся момент. Силы тяжести и реакции опоры могут не быть равны нулю, но их моменты относительно выбранной оси иногда взаимно уничтожаются или равны нулю. Например, при вращении тела вокруг закреплённой оси сила реакции проходит через ось и не создаёт момента относительно неё. В задачах о движении связанных тел полезно учитывать, какие силы являются внутренними: они не изменяют полный момент импульса системы, если внешнего момента нет.
- Сначала выберите точку или ось, относительно которой рассматривается момент.
- Проверьте сумму моментов внешних сил, а не просто сумму сил.
- Запишите моменты импульса до и после события в одной системе единиц.
- Если тело вращается вокруг неподвижной оси, используйте \(L=I\omega\).
Когда закон применим
Закон можно применять к системе тел при отсутствии внешнего момента или когда за короткое время взаимодействия его импульсом можно пренебречь. Это часто встречается при нецентральном столкновении, когда два тела после удара начинают вращаться вокруг общей оси. Внутренние силы взаимодействия могут быть очень велики, но их моменты в сумме не меняют полный момент системы.
Для материальной точки, движущейся по окружности, закон часто принимает вид \(mvr=\text{const}\). Если масса и радиус не меняются, сохраняется скорость движения по окружности. Если человек приближает руки к оси вращения, момент инерции уменьшается, поэтому угловая скорость возрастает:
Этот эффект не противоречит сохранению энергии автоматически: при изменении положения частей тела человек совершает работу, поэтому кинетическая энергия вращения может измениться, хотя момент импульса сохраняется.
Фигурист уменьшил момент инерции в 2 раза, не испытывая внешнего момента. Как изменилась его угловая скорость?
Алгоритм решения задач
- Определите систему тел и момент импульса относительно выбранной оси.
- Найдите начальное состояние: какие тела вращаются, каковы их \(I\) и \(\omega\) или массы, скорости и плечи.
- Проверьте внешние моменты. Если их сумма равна нулю, применяйте закон сохранения.
- Запишите \(L_1=L_2\), раскрывая момент импульса каждого тела с правильным знаком.
- Выразите неизвестную величину и проверьте единицы и физический смысл ответа.
Если после удара тела вращаются как одно целое, их конечный момент импульса записывается как \(L_2=(I_1+I_2)\omega\), если оси совпадают и тела жёстко сцепились. Кинетическая энергия при таком неупругом взаимодействии обычно не сохраняется, а момент импульса при нулевом внешнем моменте сохраняется.
Разобранный пример: человек на вращающейся платформе
Человек стоит на платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси без трения. Момент инерции платформы \(I_1=120\ \text{кг·м}^2\), момент инерции человека с вытянутыми руками \(I_2=30\ \text{кг·м}^2\). Начальная угловая скорость системы \(\omega_1=1{,}5\ \text{рад/с}\). Человек прижимает руки, и его момент инерции становится \(I'_2=10\ \text{кг·м}^2\). Найдём конечную угловую скорость.
Системой считаем платформу и человека. Внешний момент относительно вертикальной оси равен нулю: трением пренебрегаем. Поэтому сохраняется момент импульса системы.
Ответ: \(\omega_2\approx1{,}73\ \text{рад/с}\). Скорость увеличилась, потому что общий момент инерции уменьшился, а момент импульса остался прежним.
Знаки, векторы и особые случаи
При вращении в одной плоскости удобно выбрать положительное направление, например против часовой стрелки. Тогда вращения в противоположные стороны имеют разные знаки: \(L=I\omega\), где \(\omega\) может быть положительной или отрицательной. Нельзя складывать модули моментов импульса, если тела вращаются навстречу друг другу.
Если ось не закреплена, нужно учитывать момент импульса относительно точки, которая сама может двигаться. В сложных задачах полезно разделять движение центра масс и вращение вокруг центра масс. Не следует автоматически заменять закон сохранения импульса законом сохранения момента импульса: это разные условия. Нулевая сумма внешних сил сохраняет линейный импульс, а нулевая сумма внешних моментов — момент импульса.
1. Проверяют сумму сил вместо суммы их моментов. 2. Берут плечо силы как расстояние до точки приложения, хотя нужно перпендикулярное расстояние до линии действия силы. 3. Сохраняют кинетическую энергию при неупругом столкновении. 4. Складывают моменты без учёта направлений вращения. 5. Используют \(L=I\omega\), не определив ось вращения и момент инерции относительно неё.
Главная связка темы: \(\frac{d\vec L}{dt}=\vec M_{\text{внеш}}\); если \(\vec M_{\text{внеш}}=0\), то \(\vec L=\text{const}\). Для вращения вокруг неподвижной оси: \(I_1\omega_1=I_2\omega_2\).
Быстрая проверка
Главное
- Момент импульса материальной точки: \(\vec L=\vec r\times m\vec v\); для вращения вокруг оси: \(L=I\omega\).
- Изменение момента импульса определяется суммарным внешним моментом: \(d\vec L/dt=\vec M_{\text{внеш}}\).
- Если внешний момент равен нулю, полный момент импульса системы сохраняется.
- При изменении момента инерции угловая скорость изменяется обратно пропорционально ему: \(I_1\omega_1=I_2\omega_2\).
- В задачах обязательно выбирайте ось, учитывайте знаки вращения и не путайте сохранение момента импульса с сохранением энергии.