Задание № 19 · ОГЭ

Кинематика вращательного движения

Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси все его точки движутся по окружностям с центрами на этой оси. Для описания такого движения используют угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение — величины, одинаковые для всего тела, хотя линейные скорости и ускорения разных точек могут различаться.

Угол поворота и угловое перемещение

Положение вращающегося тела задают углом \(\varphi\), отсчитываемым от выбранного начального направления. Угол измеряют в радианах (рад). Один полный оборот соответствует углу \(2\pi\) рад, половина оборота — \(\pi\) рад, четверть оборота — \(\frac{\pi}{2}\) рад.

Угол поворота

Угол поворота \(\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1\) показывает, на какой угол и в каком направлении повернулось тело. По соглашению обычно выбирают положительным направление против часовой стрелки, а вращение по часовой стрелке считают отрицательным.

Угол в радианах связан с длиной дуги \(s\) и радиусом \(R\): отношение длины дуги к радиусу не имеет единицы измерения и численно равно углу в радианах. Поэтому при одном и том же угле точки, расположенные дальше от оси, проходят больший путь.

\[\varphi=\frac{s}{R}\]1

Отсюда длина дуги равна \(s=R\varphi\). Формула применима, если \(\varphi\) выражен именно в радианах. Для полного оборота \(s=2\pi R\).

\(\varphi\)

угол поворота

рад

\(\omega\)

угловая скорость

рад/с

\(\varepsilon\)

угловое ускорение

рад/с²

\(t\)

время

\(R\)

радиус окружности

Угол φ в радианах равен отношению длины дуги к радиусу: φ=s/R.

Угловая скорость

Угловая скорость показывает, как быстро изменяется угол поворота. Средняя угловая скорость равна отношению углового перемещения ко времени, за которое оно произошло. Мгновенная угловая скорость — предел этого отношения для очень малого промежутка времени.

\[\omega_{\text{ср}}=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t},\qquad \omega=\frac{d\varphi}{dt}\]2

Если угловая скорость постоянна, вращение называют равномерным. Тогда за одинаковые промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы. Закон вращательного движения имеет вид:

\[\varphi=\varphi_0+\omega t\]3

Здесь \(\varphi_0\) — начальный угол. Для равномерного вращения число оборотов за время \(t\) равно \(N=\frac{\omega t}{2\pi}\). Если известна частота вращения \(\nu\) — число оборотов за секунду, то \(\omega=2\pi\nu\). Связь с периодом \(T\), то есть временем одного оборота: \(\nu=\frac{1}{T}\).

\[\omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}\]4

Хотя угловая скорость одинакова для всех точек твёрдого тела, их линейные скорости различны: точка на расстоянии \(R\) от оси за то же время проходит дугу большей длины.

\[v=\omega R\]5

Связь вращательного и поступательного описания

Для точки, находящейся на расстоянии \(R\) от оси, линейная скорость направлена по касательной к окружности и перпендикулярна радиусу. Её модуль определяется формулой \(v=\omega R\).

Микро-проверка

Точка находится на расстоянии \(R\) от оси. Как изменится её линейная скорость, если расстояние увеличить в 3 раза, а угловая скорость оставить прежней?

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости. Среднее угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости ко времени, а мгновенное — производной угловой скорости по времени.

\[\varepsilon_{\text{ср}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t},\qquad \varepsilon=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\varphi}{dt^2}\]6

Если угловое ускорение постоянно, вращение называют равноускоренным. По аналогии с прямолинейным равноускоренным движением получаем:

\[\omega=\omega_0+\varepsilon t\]7

\[\varphi=\varphi_0+\omega_0t+\frac{\varepsilon t^2}{2}\]8

\[\omega^2-\omega_0^2=2\varepsilon(\varphi-\varphi_0)\]9

При положительном выборе направления знак \(\varepsilon\) показывает изменение алгебраической угловой скорости. Если тело вращается в положительном направлении и \(\varepsilon>0\), оно ускоряется; если \(\varepsilon<0\), вращение замедляется. Однако нельзя определять ускорение только по знаку: нужно сравнивать направления \(\omega\) и \(\varepsilon\).

Линейные ускорения точки

У точки вращающегося тела есть касательное и нормальное ускорения. Касательное ускорение изменяет модуль скорости: \(a_{\tau}=\varepsilon R\). Нормальное ускорение изменяет направление скорости: \(a_n=\frac{v^2}{R}=\omega^2R\). Полное ускорение является их векторной суммой.

\[a_{\tau}=\varepsilon R,\qquad a_n=\omega^2R,\qquad a=\sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2}\]10

График угла при равноускоренном вращении: угол растёт нелинейно.

Разобранный пример

№

Задача на равноускоренное вращение

Колесо начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением \(\varepsilon=2\ \text{рад/с}^2\). Найдите угловую скорость и угол поворота через \(t=3\ \text{с}\), а также линейную скорость точки на ободе радиусом \(R=0{,}4\ \text{м}\).

Запишем исходные данные и учтём, что колесо начинает вращаться из покоя:

\(\displaystyle \varepsilon=2\ \text{рад/с}^2,\quad t=3\ \text{с},\quad \omega_0=0,\quad \varphi_0=0,\quad R=0{,}4\ \text{м}\)

Используем закон изменения угловой скорости при постоянном угловом ускорении:

\(\displaystyle \omega=\omega_0+\varepsilon t=0+2\cdot3=6\ \text{рад/с}\)

Найдём угол поворота по формуле равноускоренного вращения:

\(\displaystyle \varphi=\varphi_0+\omega_0t+\frac{\varepsilon t^2}{2}=0+0+\frac{2\cdot3^2}{2}=9\ \text{рад}\)

Переведём угол в число оборотов, если это требуется для интерпретации результата:

\(\displaystyle N=\frac{\varphi}{2\pi}=\frac{9}{2\pi}\approx1{,}43\)

Определим линейную скорость точки обода:

\(\displaystyle v=\omega R=6\cdot0{,}4=2{,}4\ \text{м/с}\)

Ответ: через 3 секунды угловая скорость равна \(6\ \text{рад/с}\), угол поворота — \(9\ \text{рад}\), или примерно \(1{,}43\) оборота, а линейная скорость точки обода — \(2{,}4\ \text{м/с}\).

Как решать задачи и не ошибаться

Выберите положительное направление вращения и определите знаки \(\varphi\), \(\omega\) и \(\varepsilon\).
Выпишите известные величины и проверьте, является ли вращение равномерным или равноускоренным.
Для углов используйте радианы, особенно в формулах \(s=R\varphi\) и \(\omega=\frac{d\varphi}{dt}\).
Сначала найдите угловые величины, а затем при необходимости переведите их в линейные: \(v=\omega R\), \(a_{\tau}=\varepsilon R\).
Проверьте размерность и смысл ответа: угловая скорость измеряется в рад/с, а линейная — в м/с.

Частые ошибки

1. Подставляют градусы вместо радиан: \(180^\circ=\pi\) рад. 2. Считают, что линейная скорость одинакова для всех точек тела; одинаковой является угловая скорость. 3. Путают период и частоту: \(T\) измеряется в секундах, а \(\nu\) — в герцах. 4. Используют формулу \(v=\omega R\) для точки на оси: там \(R=0\) и линейная скорость равна нулю. 5. Забывают, что при неравномерном вращении даже при постоянном радиусе может быть касательное ускорение.

Запомнить

Угол задаёт положение, угловая скорость — быстроту изменения угла, угловое ускорение — быстроту изменения угловой скорости. Главные связи: \(v=\omega R\), \(a_{\tau}=\varepsilon R\), \(a_n=\omega^2R\).

Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · угол

Какой угол соответствует одному полному обороту?

Главное за минуту

Главное

Угол поворота в радианах равен отношению длины дуги к радиусу: \(\varphi=\frac{s}{R}\).
Угловая скорость показывает быстроту изменения угла: \(\omega=\frac{d\varphi}{dt}\); при равномерном вращении \(\varphi=\varphi_0+\omega t\).
Связь угловой и линейной скоростей: \(v=\omega R\). Поэтому точки дальше от оси движутся быстрее.
Угловое ускорение показывает изменение угловой скорости: \(\varepsilon=\frac{d\omega}{dt}\). При постоянном ускорении используют формулы равноускоренного вращения.
У точки вращающегося тела \(a_{\tau}=\varepsilon R\) изменяет модуль скорости, а \(a_n=\omega^2R\) — её направление.