Возрастающая функция
Возрастающая функция — это функция, значения которой не уменьшаются при увеличении аргумента: чем больше \(x\), тем больше или равно соответствующее значение \(y\). Возрастание можно определить по значениям функции, её графику или производной.
Основной признак
Чтобы проверить возрастание по определению, выбирают любые два числа \(x_1\) и \(x_2\) из рассматриваемого промежутка, предполагают \(x_1<x_2\) и сравнивают \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\). Если неравенство \(f(x_1)\le f(x_2)\) выполняется всегда, функция возрастает на этом промежутке.
Если функция имеет производную на промежутке и \(f'(x)\ge0\) в каждой его внутренней точке, то функция возрастает на этом промежутке. Если \(f'(x)>0\) всюду, то функция строго возрастает.
Рассмотрим \(f(x)=3x-5\). Её производная равна \(f'(x)=3\). Так как \(3>0\) при любом \(x\), функция строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, при увеличении \(x\) на единицу значение функции увеличивается на \(3\).
Для возрастающей функции из \(x_1<x_2\) следует \(f(x_1)\le f(x_2)\), а для убывающей функции — \(f(x_1)\ge f(x_2)\). Возрастание не означает, что значения обязательно увеличиваются строго: функция может оставаться постоянной на отдельных участках. Подробное объединяющее понятие — монотонность функции.
На каком промежутке функция \(f(x)=x^2\) возрастает?
Главное
- Возрастающая функция сохраняет порядок: если \(x_1<x_2\), то \(f(x_1)\le f(x_2)\).
- Для проверки используют определение или знак производной: \(f'(x)\ge0\) означает возрастание.
- Промежуток возрастания всегда указывают отдельно: одна и та же функция может возрастать на одном промежутке и убывать на другом.