Уравнение плоскости в пространстве
Уравнение плоскости позволяет решать геометрические задачи алгебраически: проверять принадлежность точки, находить параметры плоскости, определять параллельность и перпендикулярность. Для работы понадобятся векторы в пространстве и координаты точки в пространстве.
Координатное уравнение плоскости
В прямоугольной системе координат любая плоскость задаётся уравнением первой степени:
Здесь \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — действительные числа, причём \(A\), \(B\), \(C\) не могут одновременно равняться нулю. Коэффициенты можно умножить или разделить на любое ненулевое число: например, уравнения \(2x-y+z-3=0\) и \(-4x+2y-2z+6=0\) задают одну и ту же плоскость.
Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Для уравнения \(Ax+By+Cz+D=0\) нормальным является вектор \(\vec n=(A;B;C)\).
Число \(D\) определяет положение плоскости относительно начала координат, но не влияет на направление нормали. Если известны нормальный вектор \(\vec n=(A;B;C)\) и точка \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) плоскости, уравнение удобно записывать так:
Раскрывая скобки, получаем общий вид. Поэтому для построения уравнения достаточно знать одну точку плоскости и её нормальный вектор.
Как составить уравнение плоскости
Рассмотрим основные ситуации. Если дана точка \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) и нормаль \(\vec n=(A;B;C)\), сразу используем точечно-нормальную форму. Если плоскость проходит через три не лежащие на одной прямой точки, сначала строим два направляющих вектора в плоскости, затем находим их векторное произведение — оно будет нормальным.
Если плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, можно взять направляющие векторы этих прямых и найти их векторное произведение. Если плоскость проходит через две параллельные прямые, один вектор берут вдоль прямых, а второй — соединяющий точки на разных прямых; их векторное произведение также даёт нормаль.
Плоскости с нормалями \(\vec n_1\) и \(\vec n_2\) параллельны тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(\vec n_1\cdot\vec n_2=0\).
Две плоскости с пропорциональными коэффициентами \(A\), \(B\), \(C\) имеют одинаковое направление. Если при этом пропорциональны и свободные члены, плоскости совпадают; иначе они параллельны и различны.
Какой вектор является нормальным для плоскости \(3x-2y+5z-7=0\)?
Проверка точки и взаимное положение
Чтобы проверить, лежит ли точка \(M(x_1;y_1;z_1)\) на плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\), подставляют её координаты в левую часть. Если получается ноль, точка принадлежит плоскости; если ненулевое число — не принадлежит.
Для прямой и плоскости важно сравнить направляющий вектор прямой \(\vec v=(p;q;r)\) с нормалью плоскости \(\vec n=(A;B;C)\). Если \(\vec v\cdot\vec n=0\), прямая параллельна плоскости или лежит в ней. Чтобы различить эти случаи, проверяют любую точку прямой: если она удовлетворяет уравнению плоскости, прямая лежит в плоскости, иначе параллельна ей.
Если \(\vec v\) коллинеарен \(\vec n\), прямая перпендикулярна плоскости. Это часто используется в задачах на ортогональную проекцию точки и при поиске расстояния, которое подробно рассматривается на странице о расстоянии от точки до плоскости.
Сначала выписывайте коэффициенты \(A\), \(B\), \(C\) отдельно: это нормаль. Затем проверяйте скалярные произведения и только после этого подставляйте координаты точек. Такой порядок уменьшает число знаковых ошибок.
Разобранный пример: плоскость через три точки
Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(1;0;2)\), \(B(3;1;0)\) и \(C(0;2;1)\). Заодно проверим, лежит ли точка \(P(2;1;1)\) в этой плоскости.
Ищем два вектора в плоскости: \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Их векторное произведение даст нормаль.
Итак, уравнение плоскости: \(3x+4y+5z-13=0\). Точка \(P(2;1;1)\) ей не принадлежит.
Типичные задачи и ошибки
В экзаменационных задачах нужно внимательно определить, что именно требуется: составить уравнение, найти параметр, выбрать точку плоскости или установить перпендикулярность. Обычно достаточно перевести условие на язык нормальных и направляющих векторов.
- Для новой плоскости выпишите точку, через которую она проходит, и нормальный вектор.
- Для параллельности сравнивайте только направления нормалей, то есть коэффициенты при \(x\), \(y\), \(z\).
- Для перпендикулярности плоскостей используйте скалярное произведение нормалей.
- После получения уравнения обязательно подставьте известную точку: это быстрая проверка.
1. В нормальный вектор ошибочно включают \(D\): правильно \(\vec n=(A;B;C)\). 2. При вычислении \(\overrightarrow{AB}\) путают порядок вычитания координат. 3. Делают вывод о перпендикулярности плоскостей по перпендикулярности одной прямой и одной плоскости без проверки направлений. 4. Забывают, что уравнения, отличающиеся множителем, задают одну плоскость. 5. При условии «прямая параллельна плоскости» не проверяют, лежит ли прямая в этой плоскости.
Для плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\): нормаль — \((A;B;C)\); принадлежность точки проверяется подстановкой; расстояние от точки до плоскости находится по формуле с модулем линейного выражения в числителе.
Быстрая проверка
Главное
- Плоскость задаётся уравнением \(Ax+By+Cz+D=0\), а её нормаль имеет координаты \((A;B;C)\).
- По точке и нормали используют форму \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\).
- Через три точки плоскость строят с помощью векторного произведения двух векторов, лежащих в плоскости.
- Принадлежность точки проверяют подстановкой; параллельность и перпендикулярность плоскостей — через их нормальные векторы.
- После этой темы удобно изучать расстояние от точки до плоскости и другие задачи о взаимном положении прямых и плоскостей.