ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 7, 9, 10 · ЕГЭ

Нахождение сторон треугольника по углам

Как восстановить стороны треугольника по углам и одной известной стороне
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Если известны два угла треугольника и одна его сторона, остальные стороны находятся с помощью теоремы синусов. Сначала удобно найти третий угол по сумме углов треугольника, а затем составить пропорции между сторонами и синусами противолежащих углов.

Связь стороны с противолежащим углом

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Стороны принято обозначать строчными буквами: \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\). Каждая сторона лежит напротив соответствующего угла: сторона \(a\) — напротив угла \(A\), сторона \(b\) — напротив угла \(B\), сторона \(c\) — напротив угла \(C\).

ABCcab
В треугольнике ABC сторона a=BC, b=AC, c=AB; каждая сторона лежит напротив одноимённого угла.
D
Противолежащая сторона

Сторона называется противолежащей углу, если не имеет с ним общей вершины. Например, углу \(A\) противолежит сторона \(a=BC\).

T
Теорема синусов

В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно и равно диаметру описанной окружности: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\). Подробнее теорема разобрана на странице «Теорема синусов».

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]

Для восстановления стороны достаточно выбрать в этой цепочке два отношения: одно содержит известную сторону, другое — искомую. Например, если известны \(a\), углы \(A\) и \(B\), то сторона \(b\) находится так:

\[b=\frac{a\sin B}{\sin A}\]

Важно: сторона и синус должны относиться к углам, которые находятся напротив этих сторон. Нельзя сопоставлять сторону \(a\) с углом \(B\), если \(B\) не лежит напротив \(a\).

Алгоритм решения

Типичная задача сообщает два угла, например \(A\) и \(B\), и одну сторону. Перед применением теоремы синусов восстановите недостающий угол.

  1. Сделайте чертёж и подпишите вершины, углы и стороны.
  2. Найдите третий угол: \(C=180^\circ-A-B\).
  3. Определите, какой угол противолежит известной стороне.
  4. Запишите равенство двух отношений теоремы синусов.
  5. Выразите неизвестную сторону и подставьте значения.
  6. Округлите ответ только в самом конце, если это требуется.
\[C=180^\circ-A-B\]
Как быстро выбрать формулу

Сначала запишите пропорцию полностью: \(\frac{x}{\sin X}=\frac{d}{\sin D}\), где \(x\) — искомая сторона, \(X\) — угол напротив неё, \(d\) — известная сторона, \(D\) — угол напротив известной стороны. После этого выразите \(x\): \(x=\frac{d\sin X}{\sin D}\).

Микропроверка

В треугольнике \(ABC\) известны \(a=8\), \(A=30^\circ\) и \(B=45^\circ\). Какая формула найдёт сторону \(b\)?

Разобранный пример

В треугольнике \(ABC\) даны \(A=30^\circ\), \(B=45^\circ\) и сторона \(a=6\). Найдём стороны \(b\) и \(c\).

№
Условие и план

Сторона \(a\) противолежит углу \(A\), поэтому именно пара \(a\) и \(A\) будет опорной. Сначала найдём угол \(C\), затем применим теорему синусов два раза.

1
Находим третий угол по сумме углов треугольника.
\(\displaystyle C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\)
2
Составляем отношение для стороны b, противолежащей углу B.
\(\displaystyle \frac{b}{\sin45^\circ}=\frac{6}{\sin30^\circ}\)
3
Выражаем b и вычисляем.
\(\displaystyle b=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\frac{6\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=6\sqrt2\approx8{,}49\)
4
Составляем отношение для стороны c, противолежащей углу C.
\(\displaystyle \frac{c}{\sin105^\circ}=\frac{6}{\sin30^\circ}\)
5
Выражаем c. Можно использовать приближённое значение синуса.
\(\displaystyle c=\frac{6\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=12\sin105^\circ\approx11{,}59\)

Ответ: \(b=6\sqrt2\approx8{,}49\), \(c\approx11{,}59\). Проверка здравого смысла: угол \(C=105^\circ\) самый большой, поэтому противолежащая ему сторона \(c\) должна быть самой длинной. Действительно, \(c>b>a\).

\[a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C\]

Как контролировать ответ

Теорема синусов позволяет не только находить стороны, но и проверять результат. Чем больше угол, тем больше противолежащая ему сторона. Если \(A>B\), то должно быть \(a>b\); если углы равны, равны и соответствующие стороны.

  • Сумма трёх углов должна быть \(180^\circ\).
  • Все стороны должны быть положительными.
  • Наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла.
  • Меньшая сторона лежит напротив меньшего угла.
  • Для вычислений на калькуляторе выбран режим градусов, а не радиан.
!
Частые ошибки

1) Берут не тот угол: сторона сопоставляется только с противолежащим углом. 2) Забывают найти третий угол. 3) Переворачивают дробь и получают \(x=\frac{d\sin D}{\sin X}\) вместо правильного \(x=\frac{d\sin X}{\sin D}\). 4) Округляют синусы слишком рано. 5) Используют калькулятор в радианном режиме. 6) Записывают \(180\) вместо \(180^\circ\), хотя углы заданы в градусах.

Запомнить

Большей стороне соответствует больший угол. Это простая проверка почти любого ответа в задачах на теорему синусов.

Особые случаи и связь с другими методами

Если известны все три угла, но не известна ни одна сторона, определить размеры треугольника нельзя: можно построить подобные треугольники разных размеров. Нужна хотя бы одна известная сторона или другой размерный параметр.

Если даны три стороны, сначала используют методы нахождения углов треугольника по сторонам, а затем при необходимости проверяют результат через теорему синусов. Если известны две стороны и угол между ними, чаще удобнее применить формулу площади или теорему косинусов; выбор способа зависит от условия.

i
Округление

Если в условии сказано «ответ округлите до десятых», округляйте найденную сторону до десятых. Промежуточные значения синусов храните на калькуляторе или оставляйте в точном виде, например \(\sqrt2\).

Q
Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · сумма углов
В треугольнике \(A=50^\circ\), \(B=60^\circ\). Чему равен угол \(C\)?
Главное за минуту

Главное

  • Сторона и угол в теореме синусов всегда должны быть противолежащими.
  • Если известны два угла, третий находят по формуле \(180^\circ-A-B\).
  • Основная формула: \(x=\frac{d\sin X}{\sin D}\), где \(X\) противолежит искомой стороне, а \(D\) — известной.
  • Большему углу соответствует большая сторона; это помогает проверить ответ.
  • При вычислениях в калькуляторе используйте режим градусов и округляйте только окончательный результат.