Тапсырмалар № 9, 10 · ЕГЭ

Формула длины медианы треугольника

Как найти длину медианы по трём сторонам треугольника

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Длина медианы треугольника выражается через длины его трёх сторон по формуле Апполония. Она позволяет найти медиану без построения высоты или вычисления углов.

Если стороны треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\), то медиана \(m_a\), проведённая к стороне \(a\), вычисляется по формуле \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\). Здесь сторона \(a\) является основанием медианы, а \(b\) и \(c\) — двумя другими сторонами. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны; подробнее о понятии медианы треугольника можно прочитать отдельно.

Формула

\[m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\]1

Аналогично вычисляют две другие медианы: \(m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}\) и \(m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}\). Индекс медианы показывает, к какой стороне она проведена. Такие формулы относятся к основным приёмам шешімдер треугольников, а подробное рассмотрение самой величины дано на странице «Длина медианы треугольника».

№

Пример

Пусть \(a=6\), \(b=5\), \(c=5\). Медиана к стороне \(a\) равна \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot5^2+2\cdot5^2-6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{64}=4\). Жауабы: \(m_a=4\).

Не перепутайте

В формуле для \(m_a\) вычитается квадрат именно стороны \(a\), к которой проведена медиана. Нельзя просто сложить две соседние стороны и разделить результат пополам: это не формула медианы.

Проверьте себя

Стороны треугольника равны \(5\), \(5\) и \(6\). Чему равна медиана к стороне \(6\)?

Главное за минуту

Главное

Для медианы к стороне \(a\) используйте \(m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\).
Под индексом медианы указана сторона, к которой она проведена.
Перед вычислением внимательно сопоставьте стороны с индексами.