Теорема о биссектрисе треугольника
Теорема о биссектрисе треугольника утверждает: биссектриса внутреннего угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам треугольника.
Формула
Здесь \(D\) — точка пересечения биссектрисы угла \(A\) со стороной \(BC\). Формула показывает, какая часть стороны \(BC\) будет больше: если \(AB>AC\), то \(BD>DC\); если \(AB<AC\), то \(BD<DC\). При \(AB=AC\) биссектриса делит основание пополам.
Теорема доказывается с помощью подобия треугольников. При проведении через точку \(C\) прямой, параллельной биссектрисе \(AD\), получаются подобные треугольники; равенство углов, образованных биссектрисой, приводит к пропорции \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).
В треугольнике \(ABC\) биссектриса угла \(A\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BD=6\) см и \(DC=4\) см. Тогда \(\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\). Значит, прилежащая к отрезку \(BD\) сторона \(AB\) в \(1{,}5\) раза больше стороны \(AC\).
Медиана делит противоположную сторону пополам, а биссектриса — в общем случае в отношении прилежащих сторон. Они совпадают, например, в равнобедренном треугольнике, когда \(AB=AC\).
Биссектриса угла \(A\) делит \(BC\) так, что \(BD:DC=2:3\). Каково отношение \(AB:AC\)?
Главное
- Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально двум прилежащим сторонам.
- Для \(AD\) в треугольнике \(ABC\): \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).
- Биссектриса не обязана быть медианой; это дұрыс в частном случае равнобедренного треугольника.