Свойства высот треугольника
Высоты треугольника — это перпендикуляры, проведённые из вершин к противоположным сторонам или их продолжениям. Все три высоты, либо их продолжения, пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.
Основные свойства
В любом треугольнике три высоты пересекаются в одной точке. Положение ортоцентра зависит от вида треугольника, который можно определить с помощью свойств углов треугольника.
- В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла: две стороны являются высотами.
- В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника, потому что пересекаются продолжения двух высот.
Связь высоты с площадью
Если известны сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне, площадь вычисляют как половину произведения основания на высоту.
Здесь \(a\) — сторона, к которой проведена высота, а \(h_a\) — соответствующая высота. Аналогично: \(S=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\).
В прямоугольном треугольнике прямой угол расположен в вершине \(C\). Высоты, проведённые из вершин \(A\) и \(B\), совпадают со сторонами \(AC\) и \(BC\), поэтому ортоцентр — точка \(C\). Если \(AC=6\), \(BC=8\), то площадь равна \(S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\).
Ортоцентр — точка пересечения высот, а не медиан или биссектрис. Медианы пересекаются в центре тяжести, а биссектрисы — в центре вписанной окружности.
Где находится ортоцентр тупоугольного треугольника?
Главное
- Три высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре.
- В остроугольном треугольнике ортоцентр внутри, в прямоугольном — в вершине прямого угла, в тупоугольном — вне треугольника.
- Площадь вычисляют по формуле \(S=\frac{1}{2}ah_a\).