Системы неравенств
Система неравенств — это несколько неравенств, объединённых условием «и»: нужно найти числа, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. На числовой прямой общее решение получают пересечением найденных промежутков.
Как находят решение
Сначала решают каждое неравенство отдельно. Затем отмечают полученные множества решений на одной числовой прямой и выбирают их общую часть. При строгом неравенстве \(<\) или \(>\) граничная точка не входит в решение и обозначается пустым кружком. При нестрогом неравенстве \(\le\) или \(\ge\) точка входит в решение и обозначается закрашенным кружком.
Для системы \(\begin{cases}x\in A\\x\in B\end{cases}\) решение имеет вид \(x\in A\cap B\). Если общих точек нет, система решений не имеет: \(\varnothing\).
Решим систему \(\begin{cases}x>2\\x\le5\end{cases}\). Первое неравенство даёт промежуток \((2;+\infty)\), второе — \((-\infty;5]\). Их пересечение: \(x\in(2;5]\). Число \(2\) не входит, а число \(5\) входит в ответ.
В системе используется условие «и», поэтому берут пересечение решений. В совокупности неравенств действует условие «или», поэтому объединяют решения. Например, система требует принадлежности обеим областям, а совокупность — хотя бы одной.
Какое множество является решением системы \(\begin{cases}x\ge -1\\x<3\end{cases}\)?
Если в системе встречаются линейные неравенства, удобно использовать способы из статьи «Система линейных неравенств». Для более сложных выражений сначала применяют подходящий метод решения каждого отдельного неравенства, а затем всё равно выполняют пересечение.
Главное
- Система требует одновременного выполнения всех неравенств.
- Решение системы — пересечение решений отдельных неравенств.
- Границы отмечают пустыми или закрашенными точками в зависимости от знака неравенства.