Сечение конуса
Сечение конуса — это фигура, полученная при пересечении конуса плоскостью. В зависимости от положения плоскости сечение может быть треугольником или кругом; для экзамена особенно важны осевое сечение и сечение плоскостью, параллельной основанию.
Осевое сечение
Осевое сечение проходит через ось конуса. У прямого конуса оно представляет собой равнобедренный треугольник: его основание равно диаметру основания конуса \(2R\), а высота равна высоте конуса \(h\).
Здесь \(R\) — радиус основания, \(h\) — высота конуса. Если известны площадь осевого сечения и радиус, высоту можно найти по формуле \(h=\frac{S_{\text{осев}}}{R}\).
Сечение, параллельное основанию
Плоскость, параллельная основанию конуса, пересекает его по кругу. Радиус этого круга обозначим \(r\), а площадь сечения — \(S\). Если расстояние от вершины до плоскости равно \(x\), то из подобия треугольников в осевом сечении следует:
Поэтому площадь параллельного основанию сечения вычисляют как площадь круга:
У прямого конуса \(R=6\) см и \(h=10\) см. Осевое сечение имеет площадь \(S_{\text{осев}}=Rh=6\cdot10=60\) см\(^2\). Если сечение параллельно основанию проходит на расстоянии \(x=5\) см от вершины, его радиус равен \(r=\frac{6\cdot5}{10}=3\) см, а площадь — \(S=\pi\cdot3^2=9\pi\) см\(^2\).
Осевое сечение — треугольник, а сечение параллельно основанию — круг. Формула \(Rh\) относится только к площади осевого сечения. Для круга используют формулу \(\pi r^2\); подробнее см. площадь сечения конуса.
Какова площадь осевого сечения прямого конуса с радиусом основания \(4\) см и высотой \(7\) см?
Главное
- Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием \(2R\) и высотой \(h\).
- Его площадь равна \(S_{\text{осев}}=Rh\).
- Сечение плоскостью, параллельной основанию, является кругом: \(S=\pi r^2\), где \(r=\frac{Rx}{h}\).