Объём конуса
Объём конуса — это величина, показывающая, сколько места занимает конус в пространстве. Он равен одной трети произведения площади основания на высоту конуса.
Формула объёма
Здесь \(V\) — объём конуса, \(S_{\text{осн}}\) — площадь его основания, а \(h\) — высота, то есть перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Если основание является кругом радиуса \(r\), то \(S_{\text{осн}}=\pi r^2\), поэтому используют частную формулу:
В задачах важно привести все длины к одной единице измерения. Если радиус и высота заданы в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах: \(\text{см}^3\).
Радиус основания конуса равен \(3\) см, высота — \(4\) см. Тогда \(S_{\text{осн}}=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{см}^2\). Объём равен \(V=\frac{1}{3}\cdot9\pi\cdot4=12\pi\ \text{см}^3\).
Объём конуса не равен \(S_{\text{осн}}h\): это объём цилиндра с теми же основанием и высотой. Объём конуса составляет только одну треть такого объёма. Не следует также подставлять в формулу образующую \(l\) вместо высоты \(h\): образующая наклонена к основанию и обычно не равна высоте.
Площадь основания конуса равна \(18\ \text{см}^2\), высота — \(5\) см. Чему равен объём?
Главное
- Объём конуса вычисляют по формуле \(V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h\).
- Для круглого основания: \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\).
- В формулу входит высота, а не образующая; единицы объёма — кубические.