Тапсырмалар № 12, 13 · ЕГЭ

Сечение конуса

Осевое и параллельное основанию сечения: виды и формулы площади

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Сечение конуса — это фигура, полученная при пересечении конуса плоскостью. В зависимости от положения плоскости сечение может быть треугольником или кругом; для экзамена особенно важны осевое сечение и сечение плоскостью, параллельной основанию.

Сечение конуса

Сечением конуса называют фигуру, которая образуется при пересечении конуса плоскостью. Если плоскость проходит через ось конуса, сечение является осевым. Если плоскость параллельна основанию, сечение является кругом, подобным основанию.

Осевое сечение

Осевое сечение проходит через ось конуса. У прямого конуса оно представляет собой равнобедренный треугольник: его основание равно диаметру основания конуса \(2R\), а высота равна высоте конуса \(h\).

\[S_{\text{осев}}=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot h=Rh\]

Здесь \(R\) — радиус основания, \(h\) — высота конуса. Если известны площадь осевого сечения и радиус, высоту можно найти по формуле \(h=\frac{S_{\text{осев}}}{R}\).

Сечение, параллельное основанию

Плоскость, параллельная основанию конуса, пересекает его по кругу. Радиус этого круга обозначим \(r\), а площадь сечения — \(S\). Если расстояние от вершины до плоскости равно \(x\), то из подобия треугольников в осевом сечении следует:

\[\frac{r}{R}=\frac{x}{h},\qquad r=\frac{Rx}{h}\]

Поэтому площадь параллельного основанию сечения вычисляют как площадь круга:

\[S=\pi r^2=\pi\left(\frac{Rx}{h}\right)^2\]

№

Пример

У прямого конуса \(R=6\) см и \(h=10\) см. Осевое сечение имеет площадь \(S_{\text{осев}}=Rh=6\cdot10=60\) см\(^2\). Если сечение параллельно основанию проходит на расстоянии \(x=5\) см от вершины, его радиус равен \(r=\frac{6\cdot5}{10}=3\) см, а площадь — \(S=\pi\cdot3^2=9\pi\) см\(^2\).

Не перепутайте

Осевое сечение — треугольник, а сечение параллельно основанию — круг. Формула \(Rh\) относится только к площади осевого сечения. Для круга используют формулу \(\pi r^2\); подробнее см. площадь сечения конуса.

Проверь себя

Какова площадь осевого сечения прямого конуса с радиусом основания \(4\) см и высотой \(7\) см?

Главное за минуту

Главное

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием \(2R\) и высотой \(h\).
Его площадь равна \(S_{\text{осев}}=Rh\).
Сечение плоскостью, параллельной основанию, является кругом: \(S=\pi r^2\), где \(r=\frac{Rx}{h}\).