Задания № 11, 12 · ЕГЭ

Прямой конус

Определение, элементы и формула связи радиуса, высоты и образующей

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Прямой конус — это конус, у которого вершина расположена прямо над центром основания. Поэтому его высота перпендикулярна плоскости основания, а ось конуса проходит через центр основания и вершину.

Прямой конусНазвание связано с тем, что ось прямого конуса перпендикулярна плоскости основания.

Прямым конусом называется тело, полученное соединением всех точек круга с точкой, не лежащей в плоскости круга, причём проекция этой точки на плоскость основания совпадает с центром круга. Круг называется основанием, его центр — центром основания, а точка вне плоскости основания — вершиной конуса.

Основные элементы прямого конуса: радиус основания \(r\), высота \(h\), образующая \(l\) и ось. Высота соединяет вершину с центром основания и образует прямой угол с плоскостью основания. Образующая соединяет вершину с любой точкой окружности основания. Все образующие прямого конуса имеют одинаковую длину.

Связь радиуса, высоты и образующей

Если соединить вершину \(S\) с центром основания \(O\) и точкой \(A\) на окружности основания, получится прямоугольный треугольник \(SOA\). Его катеты — высота \(h=SO\) и радиус \(r=OA\), а гипотенуза — образующая \(l=SA\).

\[l^2=h^2+r^2\]

Из этой формулы можно найти любой из трёх элементов: \(l=\sqrt{h^2+r^2}\), \(h=\sqrt{l^2-r^2}\) или \(r=\sqrt{l^2-h^2}\). Образующая всегда больше каждого из катетов: \(l>h\) и \(l>r\).

№

Пример

Пусть радиус основания прямого конуса равен \(6\) см, а высота — \(8\) см. Тогда образующая \(l=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\) см. Для дальнейших вычислений можно обратиться к странице площади поверхности конуса.

Не перепутайте

Прямой конус — это не то же самое, что конус вообще: у наклонного конуса вершина не находится над центром основания. Кроме того, высота \(h\) и образующая \(l\) — разные отрезки: высота перпендикулярна основанию, а образующая наклонена к нему.

Проверьте себя

Радиус основания прямого конуса равен \(5\), а образующая — \(13\). Чему равна высота?

Главное за минуту

Главное

В прямом конусе высота опускается в центр основания.
Радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник: \(l^2=h^2+r^2\).
Для нахождения неизвестного элемента применяйте теорему Пифагора.