Задание № 8 · ОГЭ

Корень из частного

Формула, условия существования и типичные ошибки

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Корень из частного — это арифметический корень дроби. При допустимых значениях числителя и знаменателя корень из частного равен частному корней числителя и знаменателя.

Корень из частного

Для неотрицательных чисел \(a\) и \(b\), причём \(b>0\), справедливо равенство: корень из частного \(\frac{a}{b}\) равен частному арифметических корней \(\sqrt{a}\) и \(\sqrt{b}\). Это правило относится к свойствам арифметических корней.

Формула и условия

\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\qquad a\ge 0,\quad b>0\]

Условия важны: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — ненулевым. В правой части знаменатель \(\sqrt{b}\) также не равен нулю, потому что \(b>0\). Если в выражении есть переменные, эти ограничения входят в его ОДЗ. Подробнее ограничения для чётного корня рассматриваются на странице ОДЗ корня чётной степени.

№

Пример

Вычислим \(\sqrt{\frac{25}{36}}\). Числа \(25\) и \(36\) удовлетворяют условиям формулы, поэтому \(\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}\).

Не путайте с корнем из суммы

Правило не распространяется на сложение: обычно \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). Например, \(\sqrt{9+16}=5\), а \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\). Преобразования такого типа изучаются в теме преобразование выражений с радикалами.

Проверь себя

Какое условие необходимо для знаменателя \(b\) в формуле \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\)?

Главное за минуту

Главное

\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) при \(a\ge0\) и \(b>0\).
Перед применением формулы проверьте ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю.
Корень из частного нельзя заменять суммой корней: правило для суммы в общем случае неверно.