Задания № 7, 20 · ОГЭ

Условия существования корня

Каким должно быть подкоренное выражение

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Условия существования корня — это ограничения на подкоренное выражение, при которых корень имеет смысл в действительных числах. Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а для корня нечётной степени оно может быть любым действительным числом.

Условия существования корняПодкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня.

Условия существования корня — требования к подкоренному выражению, которые позволяют вычислить корень в множестве действительных чисел. Для корня степени \(n\) с чётным показателем требуется \(A\ge 0\); для корня с нечётным показателем ограничений на \(A\) нет.

Основное правило

В записи \(\sqrt[n]{A}\) число или выражение \(A\) называют подкоренным выражением, а \(n\) — показателем корня. Если показатель \(n\) чётный, например \(2\), \(4\) или \(6\), то корень существует только при \(A\ge 0\). Если показатель нечётный, например \(3\) или \(5\), то корень существует при любом действительном \(A\).

\[\sqrt[n]{A}\text{ существует в действительных числах: }\begin{cases}A\ge 0, & n\text{ — чётное};\\ A\in\mathbb{R}, & n\text{ — нечётное}.\end{cases}\]

№

Пример

Для выражения \(\sqrt{2x-6}\) показатель корня равен \(2\), поэтому составляем условие \(2x-6\ge 0\). Отсюда \(x\ge 3\). А выражение \(\sqrt[3]{2x-6}\) существует при любом действительном \(x\): кубический корень определён и для положительных, и для отрицательных чисел.

Не путайте

Нельзя требовать \(A>0\): ноль допустим, потому что \(\sqrt[2]{0}=0\). Также не следует переносить правило чётного корня на нечётный: \(\sqrt[3]{-8}=-2\) существует, хотя подкоренное выражение отрицательно.

Как находить ограничение

Сначала определите показатель корня. Если он чётный, приравняйте подкоренное выражение к условию «не меньше нуля» и решите полученное ОДЗ корня чётной степени. Если показатель нечётный, ограничение на подкоренное выражение не составляют; полезные свойства такого корня разобраны в статье о свойствах корня нечётной степени.

Проверьте себя

При каком условии существует выражение \(\sqrt{5-x}\)?

Главное за минуту

Главное

У корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(A\ge 0\).
У корня нечётной степени подкоренное выражение может быть любым действительным числом.
Ноль допустим; условие \(A>0\) является ошибкой.