Решение неравенств по графику
График функции позволяет быстро определить промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Для этого сравнивают положение графика с осью абсцисс и внимательно учитывают точки пересечения с этой осью.
Знак функции и положение графика
Пусть дана функция \(y=f(x)\) и её график в координатной плоскости. Значение функции положительно, если \(f(x)>0\), и отрицательно, если \(f(x)<0\). На графике это означает следующее: если точка графика находится выше оси \(Ox\), то значение функции положительно; если ниже оси \(Ox\) — отрицательно.
Точки, в которых график пересекает или касается оси абсцисс, называют нулями функции. В такой точке ордината равна нулю, поэтому \(f(x)=0\). Абсциссы этих точек являются границами промежутков, на которых знак функции может изменяться.
Нулём функции называют такое значение \(x\), при котором \(f(x)=0\). Геометрически нулям функции соответствуют абсциссы точек пересечения графика с осью \(Ox\).
Промежутки знакопостоянства
Промежутком знакопостоянства называют промежуток, на котором функция сохраняет один и тот же знак: только положительный или только отрицательный. Обычно такие промежутки находят по нулям функции и положению графика между ними.
Чтобы решить неравенство \(f(x)>0\), выпишите те значения \(x\), при которых график расположен выше оси \(Ox\). Чтобы решить \(f(x)<0\), выпишите значения \(x\), при которых график расположен ниже оси \(Ox\). Для нестрогих неравенств \(f(x)\ge 0\) и \(f(x)\le 0\) добавьте к ответу точки, где \(f(x)=0\).
Если график пересекает ось \(Ox\), знак функции обычно меняется при переходе через соответствующий нуль. Если график касается оси и возвращается в ту же полуплоскость, знак не меняется. Однако при чтении готового графика не следует определять знак только по виду точки: нужно смотреть на участки графика слева и справа от неё.
Более формальное обоснование даёт теорема о промежутках знакопостоянства. Здесь достаточно использовать её графическую интерпретацию: нули функции разбивают область определения на промежутки, внутри которых знак не меняется.
График расположен ниже оси \(Ox\) на промежутке \((-3;1)\) и выше оси на промежутках \((-\infty;-3)\) и \((1;+\infty)\). Как решить неравенство \(f(x)\le 0\)?
Алгоритм решения неравенства по графику
- Определите, какая функция изображена на графике: обычно это \(y=f(x)\).
- Найдите точки пересечения графика с осью \(Ox\) и запишите их абсциссы.
- Разделите ось \(Ox\) найденными точками на промежутки.
- Для каждого промежутка определите положение графика: выше оси или ниже неё.
- Выберите нужные промежутки в зависимости от знака неравенства.
- Проверьте, нужно ли включить нули функции: при \(\ge\) и \(\le\) включают, при \(>\) и \(<\) не включают.
Сначала можно мысленно провести вертикальные проекции от точек пересечения графика с осью \(Ox\) на числовую ось. Затем отметить участки, где график выше или ниже оси. Это уменьшает риск перепутать промежутки.
Разобранный пример
По графику функции видно, что она пересекает ось \(Ox\) в точках с абсциссами \(-2\) и \(3\). Между этими точками график расположен ниже оси, а вне этого промежутка — выше. Решим неравенства \(f(x)<0\) и \(f(x)\ge 0\).
По данному графику определить решения неравенств \(f(x)<0\) и \(f(x)\ge 0\), если нули функции равны \(-2\) и \(3\).
Если требовалось бы решить \(f(x)>0\), ответ был бы \((-\infty;-2)\cup(3;+\infty)\), а для \(f(x)\le0\) — \([-2;3]\). Разница между ответами определяется только строгостью знака.
Особые случаи и область определения
График может не пересекать ось абсцисс. Если он целиком выше оси, функция положительна на всей своей области определения; если целиком ниже — отрицательна. При этом нужно учитывать, где функция вообще существует. Например, у графика \(y=\frac1x\) нет точки при \(x=0\), поэтому ответы записывают отдельными промежутками \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
Если график касается оси \(Ox\) в одной точке, в этой точке функция равна нулю, но знак по обе стороны может оставаться одинаковым. Для \(f(x)\ge0\) такую точку включают, а для \(f(x)>0\) — не включают.
1. Путают оси: знак функции определяется положением графика относительно горизонтальной оси \(Ox\), а не вертикальной оси \(Oy\). 2. Включают концы промежутка при строгом неравенстве \(>\) или \(<\). 3. Исключают нули при \(\ge\) или \(\le\). 4. Забывают точку, не принадлежащую области определения. 5. Записывают только один промежуток, хотя решение состоит из объединения двух частей.
Выше \(Ox\) — «плюс», ниже \(Ox\) — «минус». Круглые скобки соответствуют строгим знакам \(>\) и \(<\), квадратные — нестрогим \(\ge\) и \(\le\), если точка принадлежит области определения.
Связь с графиком решений и другими методами
Результат чтения графика можно изобразить отдельно как график решений неравенства на числовой оси. Для квадратных функций тот же подход подробно применяется в теме неравенства второй степени графическим методом.
Графический способ особенно удобен, когда рисунок уже дан в условии. Если функция содержит модуль, логарифм или тригонометрическое выражение, сначала учитывают специальные свойства соответствующей функции: модуль и неравенства, монотонность логарифма в неравенствах и тригонометрические неравенства на окружности.
Быстрая проверка
Главное
- Знак функции определяют по положению графика относительно оси \(Ox\): выше — положительный, ниже — отрицательный.
- Нули функции — абсциссы точек пересечения или касания графика с осью \(Ox\).
- Для \(f(x)>0\) и \(f(x)<0\) нули не включают; для \(f(x)\ge0\) и \(f(x)\le0\) включают.
- Перед записью ответа проверяйте область определения и объединяйте все подходящие промежутки.
- Графическое решение удобно переводить в график решений неравенства.