Разложение на множители

Разложение на множители — один из самых удобных способов решить уравнение, если его левую или правую часть можно представить в виде произведения. После этого используется свойство: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Основная идея метода

Перед применением метода полезно повторить преобразование уравнений: перенос слагаемых через знак равенства, приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок должны сохранять равносильность. Цель — получить уравнение вида \(A(x)\cdot B(x)=0\).

Если множителей больше двух, каждый из них рассматривают отдельно: \(A(x)B(x)C(x)=0\) означает \(A(x)=0\), \(B(x)=0\) немесе \(C(x)=0\). Затем объединяют все найденные корни и проверяют их в исходном уравнении.

Как получить произведение

Чаще всего применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения и разложение квадратного трёхчлена. Подробное повторение способов есть на странице разложение многочлена на множители — она является частью этой темы.

• Общий множитель: \(6x^2-9x=3x(2x-3)\).
• Группировка: \(ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)\).
• Разность квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
• Квадрат суммы и разности: \(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\).
• Квадратный трёхчлен: \(x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)\), если \(x_1\) и \(x_2\) — его корни.

Иногда после переноса всех слагаемых в одну сторону выражение ещё не выглядит как произведение. Например, в уравнении \(x^2=5x\) нужно получить \(x^2-5x=0\), а затем вынести \(x\): \(x(x-5)=0\).

Алгоритм шешімдер уравнения

1. Перенесите все слагаемые в одну часть, чтобы в другой получилось \(0\).
2. Приведите подобные слагаемые и при необходимости раскройте скобки.
3. Разложите полученное выражение на множители.
4. Приравняйте каждый множитель к нулю.
5. Решите получившиеся простые уравнения.
6. Проверьте корни в исходном уравнении, особенно если выполнялись преобразования с ограничениями.

Разобранный пример

Решим уравнение \(2x^3-8x=0\). Здесь общий множитель можно вынести сразу, но важно не потерять корень \(x=0\).

Рассмотрим ещё один тип: \(x^2-7x+12=0\). Нужно найти два числа, произведение которых равно \(12\), а сумма равна \(-7\): это \(-3\) и \(-4\). Поэтому \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\), откуда \(x=3\) немесе \(x=4\). Если квадратный трёхчлен не раскладывается подбором, пригодятся дискриминант и другие методы шешімдер уравнений.

Ограничения и проверка результата

Разложение на множители обычно не меняет множество решений, если выполняются только тождественные преобразования. Но нельзя бездумно сокращать на выражение с переменной. Например, из \(x(x-3)=0\) нельзя делить на \(x\): при таком делении потеряется корень \(x=0\).

Если в исходном уравнении есть дроби, сначала учитывают область определения уравнения. Значения, обращающие знаменатель в ноль, запрещены и не могут быть ответом. После решения полезно выполнить проверку корней уравнения подстановкой в исходную, а не только в преобразованную жазба.

Связь с другими уравнениями

Разложение на множители часто является первым шагом при решении уравнений более высокой степени. После разложения уравнение четвёртой степени может распасться на квадратные или линейные множители; похожий подход используется в уравнениях высшей степени и уравнениях четвёртой степени. Отдельные случаи, например биквадратное уравнение, удобнее решать заменой переменной. Для некоторых выражений полезны также однородные уравнения и кубические уравнения.