Равносильные преобразования неравенств
Равносильные преобразования помогают решать неравенства пошагово и при этом не терять и не добавлять решения. Главное правило: при сложении сохраняется знак, а при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Что значит равносильность
Неравенство задаёт множество значений переменной, при которых оно истинно. Например, для \(x>3\) множество решений — все числа правее 3 на числовой прямой. Два неравенства называют равносильными, если их множества решений совпадают.
Равносильные неравенства — это неравенства с одной и той же переменной, имеющие одинаковые множества решений. Запись \(A(x)\Leftrightarrow B(x)\) означает: при каждом допустимом значении \(x\) высказывания \(A(x)\) и \(B(x)\) имеют одинаковую истинность.
При решении важно учитывать область допустимых значений: выражения под знаком корня, в знаменателе и внутри логарифма имеют ограничения. Если преобразование выполняется только при некотором условии, это условие нельзя забывать.
Переход от одного неравенства к другому равносилен, если он сохраняет истинность и ложность при всех допустимых значениях переменной. Поэтому после каждого преобразования нужно понимать, обратим ли этот шаг.
Преобразования, сохраняющие знак
К обеим частям неравенства можно прибавить или отнять одно и то же число либо выражение, определённое на рассматриваемой области. Знак неравенства при этом не меняется.
Так, \(3x-7\le 5\) равносильно \(3x\le 12\): к обеим частям прибавили 7. Перенос слагаемого через знак неравенства — это сокращённая запись прибавления противоположного числа, поэтому знак не «переворачивается»: \(3x-7\le5\Leftrightarrow3x\le12\).
Можно умножить или разделить обе части на положительное число. Порядок чисел сохраняется.
Сначала приведите подобные слагаемые, затем перенесите слагаемые с переменной в одну часть, свободные числа — в другую, а в конце разделите на коэффициент при переменной. Перед делением обязательно определите его знак.
Умножение и деление на отрицательное число
Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, порядок чисел меняется на противоположный. Поэтому знак \(<\) меняется на \(>\), знак \(>\) — на \(<\), а нестрогие знаки также меняются местами: \(\le\) на \(\ge\) и наоборот.
При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак сохраняется. При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
Почему это верно? На числовой прямой умножение на \(-1\) отражает точки относительно нуля: например, \(2<5\), но \(-2>-5\). Умножение на любое отрицательное число сочетает такое отражение с растяжением или сжатием.
Какое неравенство равносильно \(-4x\ge 12\)?
Нельзя менять знак при переносе слагаемого через знак неравенства: \(x-4>2\) превращается в \(x>6\), а не в \(x<-6\). Знак меняется только при умножении или делении на отрицательное число.
Преобразования с выражениями и ограничения
Если к обеим частям прибавляют выражение с переменной, оно должно быть определено для рассматриваемых значений. Например, \(\frac{x}{x-1}>2\) можно преобразовывать только при \(x\ne1\). Само условие \(x\ne1\) входит в область допустимых значений.
Сложение, вычитание и умножение на заранее известное положительное число обычно безопасны. Иная ситуация возникает, если множитель содержит переменную и его знак неизвестен. Нельзя без разбора умножать неравенство на \(x-2\): при \(x>2\) знак сохранится, а при \(x<2\) изменится.
Область допустимых значений — все значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл. Решение неравенства всегда берут только из ОДЗ.
Возведение обеих частей в квадрат не является автоматически равносильным преобразованием: функция \(t\mapsto t^2\) сохраняет порядок только на неотрицательных числах. Например, из \(-3<-2\) после возведения в квадрат получается \(9>4\), то есть знак изменился.
Если к обеим частям применяют строго возрастающую функцию на общей области, знак сохраняется. Если применяют строго убывающую функцию, знак меняется. Для квадратирования сначала нужно знать знаки обеих частей.
Разобранный пример
Решим неравенство \(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{2}\le1\). Все знаменатели постоянны и ненулевые, поэтому дополнительных ограничений на \(x\) нет.
Нужно последовательно убрать дроби, привести подобные слагаемые и определить знак коэффициента при переменной.
Ответ: \(x\in(-\infty;14]\). Проверка полезна: при \(x=14\) левая часть равна 1, значит равенство выполняется; при \(x=15\) левая часть больше 1, поэтому числа правее 14 в ответ не входят.
Как оформлять решение
- Запишите ОДЗ, если в неравенстве есть переменные знаменатели, корни или другие выражения с ограничениями.
- Упростите обе части: раскройте скобки, приведите подобные слагаемые.
- Перенесите слагаемые с переменной в одну сторону, постоянные — в другую.
- Разделите на коэффициент при переменной и укажите, почему знак сохраняется или меняется.
- Запишите ответ в виде промежутка или объединения промежутков и при необходимости выполните проверку.
Если преобразование зависит от знака выражения с переменной, применяйте метод объединения и пересечения промежутков или разбивайте решение на случаи. Для нескольких условий полезны равносильность систем и совокупностей. При подготовке к задачам с параметрами пригодятся линейные неравенства с параметром и системы неравенств с параметром.
Сложить или вычесть одно и то же — знак сохранить. Умножить или разделить на положительное — знак сохранить. Умножить или разделить на отрицательное — знак поменять.
Связь с другими темами
При изображении ответа на числовой прямой важно различать строгие и нестрогие неравенства: открытая точка соответствует \(<\) или \(>\), закрашенная — \(\le\) или \(\ge\). Подробнее это связано со строгими неравенствами, нестрогими неравенствами и знаками на числовой прямой. После освоения этой темы можно переходить к обратной задаче на неравенство.
Проверь себя
Главное
- Равносильные неравенства имеют одно и то же множество решений.
- При сложении и вычитании одного и того же выражения знак не меняется.
- При умножении или делении на положительное число знак сохраняется, на отрицательное — меняется.
- Переменный множитель требует разбора его знака; ограничения ОДЗ нельзя исключать из ответа.
- После решения проверьте граничные точки и корректно запишите промежуток решений.