Задания № 6, 13 · ЕГЭ

Равносильность систем и совокупностей

Как преобразовывать системы и совокупности, не меняя множество решений

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Равносильные преобразования систем и совокупностей — это такие преобразования, при которых множество решений задачи не изменяется. После них можно решать более простую запись, будучи уверенным, что получены все исходные решения и не появились лишние.

Две системы или совокупности называются равносильными, если их множества решений совпадают. Для системы решение должно одновременно удовлетворять всем входящим в неё условиям, а для совокупности — хотя бы одному из них.

Условия сохранения решений

При преобразовании системы каждое уравнение или неравенство можно заменить равносильным ему условием. Например, свойства равносильных уравнений и равносильных неравенств применяются к отдельным строкам системы.

\[S_1=S_2 \quad\Longleftrightarrow\quad \{x\mid x\text{ — решение }S_1\}=\{x\mid x\text{ — решение }S_2\}\]

Допустимы также действия, сохраняющие эквивалентность всей записи: перестановка условий в системе или совокупности, объединение одинаковых условий, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. При умножении или делении обеих частей уравнения на выражение нужно учитывать область допустимых значений.

№

Пример

Система \(\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}\) равносильна системе \(\begin{cases}x+y=5\\2x=6\end{cases}\), потому что во втором уравнении к первому прибавили второе. Решение остаётся тем же: \(x=3\), \(y=2\).

Не путайте

Равносильные преобразования неравенств — частный случай преобразований. При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется, а при умножении на выражение неизвестного знака равносильность автоматически не сохраняется.

Проверьте себя

Можно ли без дополнительных условий разделить уравнение \(x(x-2)=0\) на \(x\)?

Главное за минуту

Главное

Равносильные системы и совокупности имеют одно и то же множество решений.
В системе условия выполняются одновременно, в совокупности — хотя бы одно.
Нельзя выполнять преобразования, которые могут потерять решения или добавить лишние, без проверки области допустимых значений.