Задания № 6, 7 · ЕГЭ

Подобные радикалы

Как распознать радикалы, которые можно сложить или вычесть

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Подобные радикалы — это радикалы с одинаковыми показателями корня и одинаковыми подкоренными выражениями. Их можно складывать и вычитать как подобные слагаемые: изменяются только коэффициенты перед корнями.

Подобные радикалыСлово «подобные» означает «имеющие одинаковый вид».

Радикалы вида \(a\sqrt[n]{b}\) и \(c\sqrt[n]{b}\) называются подобными, если у них совпадают показатель корня \(n\) и подкоренное выражение \(b\). Числа \(a\) и \(c\) — их коэффициенты. Подобные радикалы распознают после упрощения выражений с корнями, потому что исходный вид радикалов может скрывать одинаковую коренную часть.

Правило сложения и вычитания

Чтобы сложить или вычесть подобные радикалы, вынесите общую коренную часть за скобки и выполните действие с коэффициентами. Это правило аналогично сложению подобных одночленов.

\[a\sqrt[n]{b}+c\sqrt[n]{b}=(a+c)\sqrt[n]{b}\]

\[a\sqrt[n]{b}-c\sqrt[n]{b}=(a-c)\sqrt[n]{b}\]

№

Пример

\(3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3+2-1)\sqrt{5}=4\sqrt{5}\). Корень \(\sqrt{5}\) сохраняется, а коэффициенты \(3\), \(2\) и \(-1\) складываются.

Иногда радикалы становятся подобными только после вынесения множителя из-под корня. Например, \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), поэтому \(\sqrt{12}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). Если коренные части различаются, выражение обычно оставляют в виде суммы.

Не путайте

Одинаковый показатель корня ещё не делает радикалы подобными. Радикалы \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{3}\) складывать в один радикал нельзя: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne\sqrt{5}\). Также нельзя складывать \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt[3]{5}\): показатели корней различны.

Проверь себя

Как упростить выражение \(4\sqrt{7}-\sqrt{7}+2\sqrt{7}\)?

Главное за минуту

Главное

Подобные радикалы имеют одинаковые показатель корня и подкоренное выражение.
При сложении или вычитании складывают только коэффициенты, а коренную часть сохраняют.
Перед объединением радикалы иногда нужно упростить и вынести множители из-под корня.