Процентные тапсырма с таблицами
Процентные задачи с таблицами проверяют не только умение считать проценты, но и умение правильно прочитать условие. Обычно в таблице указаны несколько величин: количество, цена, масса, доля или изменение; нужно определить неизвестное значение по одной или нескольким строкам.
Как читать таблицу в условии
Сначала выясните, что обозначают строки и столбцы. Строки могут соответствовать товарам, месяцам, классам или вариантам производства, а столбцы — цене, количеству, стоимости и процентному изменению. Одна строка обычно описывает один объект или один период.
Процент — это одна сотая часть величины. \(p\%\) от числа \(a\) равны \(\frac{p}{100}\cdot a\). В задачах таблица часто содержит либо саму величину, либо её процентную долю.
Полезно составить краткую запись: выписать название величины, её значение и единицу измерения. Если в таблице есть цена и количество, то стоимость находят умножением. Если указана доля в процентах, переводят проценты в десятичную дробь.
- Определите, что является целым: всей продукцией, всей суммой, общей массой или первоначальной величиной.
- Найдите величину, от которой берётся процент.
- Проверьте единицы измерения: рубли, килограммы, штуки, литры.
- Уточните, относится процент к одной строке или ко всей таблице.
- После вычислений оцените, реалистичен ли ответ.
Перед решением полезно повторить таблицу процентов и при необходимости обратиться к странице составление краткой записи задачи. Если величины образуют пропорцию, применяйте основное свойство пропорции.
Основные модели тапсырма
В таблицах чаще всего встречаются четыре модели. Выбор модели зависит от того, какая величина является известной и от чего вычисляется процент.
| Модель | Что известно | Как найти |
|---|---|---|
| Процент от числа | целое \(a\) и процент \(p\%\) | \(a\cdot\frac{p}{100}\) |
| Іздеу целое | часть \(b\) и её доля \(p\%\) | \(b\cdot\frac{100}{p}\) |
| Іздеу процент | целое \(a\) и часть \(b\) | \(\frac{b}{a}\cdot100\%\) |
| Процентное изменение | начальное и конечное значения | \(\frac{b-a}{a}\cdot100\%\) |
В задачах на стоимость используйте формулу \(S=cn\), где \(c\) — цена одной единицы, а \(n\) — количество. Если цена увеличилась на \(p\%\), новая цена равна \(c\left(1+\frac{p}{100}\right)\). Если уменьшилась на \(p\%\), новая цена равна \(c\left(1-\frac{p}{100}\right)\). Подробнее об этом см. коэффициент изменения и обратное процентное изменение.
В таблице указано, что 18 кг составляют 30% всей партии. Какова масса всей партии?
Алгоритм шешімдер по таблице
- Прочитайте заголовки и подписи всех строк.
- Выберите строку или несколько строк, относящихся к вопросу.
- Обозначьте неизвестную величину буквой или сразу запишите нужную формулу.
- Переведите процент в дробь: \(p\%=\frac{p}{100}\).
- Выполните вычисления и укажите единицу измерения.
- Сверьте результат с таблицей: процент не может быть больше 100%, если речь идёт о части целого.
В выражении «\(A\) составляет \(p\%\) от \(B\)» основанием процента является \(B\). Поэтому связь записывают так: \(A=\frac{p}{100}\cdot B\). Нельзя без проверки брать за основание величину, стоящую первой в условии.
Разобранный пример
В таблице указано количество проданных тетрадей и доля продаж в сентябре. В первой строке продано 240 тетрадей, что составляет 40% всех продаж. Во второй строке нужно определить общее количество проданных тетрадей и число тетрадей, проданных в октябре, если в октябре продажи выросли на 25% по сравнению с сентябрём.
Показать Шешім и ответ Жауап
В сентябре продали 600 тетрадей. В октябре продали 750 тетрадей. Жауабы: 600 тетрадей в сентябре и 750 тетрадей в октябре.
В этой задаче сначала восстанавливается целое по известной части, а затем применяется увеличение на процент. Если бы требовалось найти только долю одной строки, использовали бы процентную формулу. Если неизвестных несколько и данные связаны разными строками, может понадобиться система уравнений в текстовых задачах.
Тапсырмалар с несколькими строками
Иногда таблица содержит данные о нескольких группах, а вопрос относится к общей сумме. Тогда сначала объединяют подходящие строки, а уже потом считают процент. Например, если в двух классах учатся 18 и 22 ученика, то общее количество равно \(18+22=40\). Доля отличников определяется отношением общего числа отличников к 40, а не к числу учеников только одного класса.
Если требуется сравнить две строки, удобно найти разность или отношение. Увеличение второй величины относительно первой вычисляют по формуле \(\frac{b-a}{a}\cdot100\%\). Здесь \(a\) — первоначальное значение, поэтому порядок строк имеет значение.
Ошибка 1. Процент берут от неправильной величины. Всегда спрашивайте: «Процент от чего?»\n\nОшибка 2. При восстановлении целого умножают на процент вместо деления на долю. Если 25% равны 30, то целое равно \(30:0{,}25=120\).\n\nОшибка 3. Складывают проценты разных строк без проверки общего основания. 20% одного товара и 20% другого не всегда дают 40% общей суммы.\n\nОшибка 4. При росте на 15% прибавляют 15 единиц. Нужно умножать на \(1{,}15\).\n\nОшибка 5. Забывают единицы измерения или округляют слишком рано.
Чтобы найти величину после увеличения на \(p\%\), умножьте её на \(1+\frac{p}{100}\). Чтобы найти величину после уменьшения на \(p\%\), умножьте её на \(1-\frac{p}{100}\).
Как оформлять ответ
В экзаменационной задаче достаточно записать вычисления и ответ с единицей измерения. Если в условии несколько вопросов, отвечайте на каждый отдельно. Не смешивайте исходные данные и результаты: сначала укажите, что найдено, затем подставляйте это значение в следующий шаг.
- Записывайте проценты как дробь или десятичное число: \(35\%=0{,}35\).
- Для нескольких строк подписывайте промежуточные суммы.
- Если ответ должен быть целым, проверьте, допускается ли округление.
- В задачах о людях, предметах и штуках результат обычно должен быть целым.
Быстрая проверка
Главное
- Сначала прочитайте заголовки таблицы и определите, какие строки относятся к вопросу.
- Основание процента — величина, от которой берут процент.
- Процент от числа находят умножением на \(\frac{p}{100}\), а целое по части — делением на эту долю.
- При увеличении и уменьшении используйте коэффициенты \(1+\frac{p}{100}\) и \(1-\frac{p}{100}\).
- Проверяйте единицы измерения, основание процента и реалистичность результата.