Обратное процентное изменение
Обратное процентное изменение — это восстановление исходной величины по результату её изменения. Главная идея: сначала определить коэффициент изменения, а затем разделить известный результат на этот коэффициент.
Что означает обратное процентное изменение
Пусть исходная величина равна \(A\). После изменения она стала равна \(B\). Если величина увеличилась на \(p\%\), то новое значение составляет \(100\%+p\%\) от исходного. Если величина уменьшилась на \(p\%\), то новое значение составляет \(100\%-p\%\) от исходного.
Обратное процентное изменение — это нахождение исходной величины по её значению после увеличения или уменьшения на известное число процентов.
Такие задачи называют обратными, потому что в обычной задаче из исходной величины получают результат, а здесь по результату возвращаются к исходной величине. Важно не вычитать проценты из известного результата, а составить уравнение или применить коэффициент изменения.
Если после изменения величина стала равна \(B\), а коэффициент изменения равен \(k\), то исходная величина находится делением: \(A=B:k\).
Коэффициент изменения и главные формулы
Связь между исходной и конечной величинами записывается так: конечная величина равна исходной, умноженной на коэффициент изменения. Проценты переводят в десятичную дробь: \(p\% = \frac{p}{100}\).
При увеличении на \(p\%\) коэффициент равен \(1+\frac{p}{100}\). При уменьшении на \(p\%\) коэффициент равен \(1-\frac{p}{100}\).
Эти формулы являются продолжением процентного изменения и связаны с процентной формулой. Для уменьшения на \(p\%\) нужно, чтобы \(p<100\); иначе коэффициент не будет положительным.
| Изменение | Коэффициент | Исходная величина |
|---|---|---|
| Увеличение на \(p\%\) | \(1+\frac{p}{100}\) | \(\frac{B}{1+\frac{p}{100}}\) |
| Уменьшение на \(p\%\) | \(1-\frac{p}{100}\) | \(\frac{B}{1-\frac{p}{100}}\) |
Чтобы восстановить исходную величину, делят на коэффициент изменения, а не умножают на него и не вычитают указанное число процентов из конечного значения.
Алгоритм решения обратной задачи
- Определите, что известно: конечная величина, процент изменения и направление изменения.
- Переведите проценты в коэффициент: при увеличении прибавьте долю процента к 1, при уменьшении вычтите её из 1.
- Разделите конечную величину на найденный коэффициент.
- Проверьте ответ обратным действием: примените к исходной величине указанное процентное изменение.
Можно решать и через уравнение. Если неизвестная исходная величина обозначена \(x\), то при увеличении на \(p\%\) составляют \(x\left(1+\frac{p}{100}\right)=B\), а при уменьшении — \(x\left(1-\frac{p}{100}\right)=B\).
После уменьшения цены на \(20\%\) товар стал стоить 960 рублей. Какое выражение находит первоначальную цену?
Разобранный пример: цена после скидки
После скидки \(15\%\) рюкзак стал стоить 1700 рублей. Найдите цену рюкзака до скидки.
Ответ: первоначальная цена рюкзака — 2000 рублей. Обратите внимание: нельзя прибавить к 1700 рублей \(15\%\) от 1700 рублей. Скидка рассчитывалась от первоначальной цены, а не от цены после скидки.
Задачи на увеличение и несколько изменений
Если величина после увеличения на \(p\%\) стала равна \(B\), исходная величина равна \(\frac{B}{1+p/100}\). Например, после повышения зарплаты на \(10\%\) она стала 44 000 рублей. До повышения зарплата была \(44000:1{,}1=40000\) рублей.
При последовательных изменениях коэффициенты перемножаются. Если величину сначала увеличили на \(p\%\), а затем уменьшили на \(q\%\), то общий коэффициент равен \(\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{q}{100}\right)\). Для восстановления исходной величины конечный результат делят на весь общий коэффициент.
Например, число сначала увеличили на \(20\%\), затем уменьшили на \(20\%\). Общий коэффициент равен \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\), поэтому итоговая величина составляет \(96\%\) исходной. Изменения на одинаковое число процентов в противоположных направлениях не уничтожают друг друга.
1. Вычитать процент из конечной величины. Если после скидки осталось 800 рублей, нельзя считать исходную цену как \(800+20\%\) от 800. 2. Путать направление изменения. После уменьшения на \(30\%\) коэффициент равен \(0{,}7\), а не \(1{,}3\). 3. Складывать проценты при последовательных изменениях. Нужно перемножать коэффициенты. 4. Забывать единицы измерения. Если результат получен в рублях, ответ указывают в рублях.
При уменьшении исходная величина должна быть больше конечной, а при увеличении — меньше конечной. Если получилось наоборот, почти наверняка выбран неправильный коэффициент или действие.
Как распознать обратную задачу в тексте
Ищите слова: «после скидки стало», «после повышения составило», «стоимость уменьшилась и стала», «число увеличили, получили». В таких формулировках обычно дана конечная величина, а спросить могут исходную.
- «После скидки \(25\%\) цена стала 1500 рублей» — делим 1500 на \(0{,}75\).
- «После повышения на \(8\%\) численность стала 270 человек» — делим 270 на \(1{,}08\).
- «После двух изменений получили 540» — находим произведение коэффициентов и делим 540 на него.
Для задач о цене полезно отдельно разобрать страницу обратная задача о цене. Если в условии требуется найти не величину, а разницу между исходной и конечной, сначала восстановите исходную величину, затем выполните требуемое вычитание.
Быстрая проверка
Главное
- Исходная величина равна конечной, делённой на коэффициент изменения.
- При увеличении на \(p\%\): \(k=1+\frac{p}{100}\); при уменьшении: \(k=1-\frac{p}{100}\).
- В обратной задаче проценты относятся к исходной величине, поэтому нельзя просто прибавлять или вычитать их из результата.
- При нескольких последовательных изменениях коэффициенты перемножаются.
- Проверяйте ответ обратным действием и сравнивайте его с конечной величиной: после уменьшения исходное значение больше, после увеличения — меньше.