Область допустимых значений степенного выражения
Область допустимых значений степенного выражения — это все значения переменных, при которых выражение определено и принимает действительное значение. При проверке учитывают знак основания, знаменатель дробного показателя и запрет деления на ноль.
Сначала приведите дробный показатель к несократимой дроби: \(\frac{m}{n}\), где \(n>0\). Тогда \(x^{\frac{m}{n}}\) связано с корнем дробной степени: \(x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}\). Условия зависят от чётности знаменателя и знака показателя.
- Если \(n\) чётное, то для действительных значений требуется \(x\ge 0\). Если показатель отрицательный, дополнительно \(x\ne 0\), то есть \(x>0\).
- Если \(n\) нечётное, корень существует при любом действительном \(x\). Но при отрицательном показателе основание не может быть нулём: \(x\ne 0\).
- Для отрицательной целой степени \(x^{-k}=\frac{1}{x^k}\), поэтому \(x\ne 0\). Для неотрицательной целой степени ограничений нет.
Найдём ОДЗ выражения \(\left(x-2\right)^{-\frac{3}{4}}\). Знаменатель показателя чётный, значит, основание должно быть неотрицательным: \(x-2\ge0\). Показатель отрицательный, поэтому основание не равно нулю: \(x-2\ne0\). Следовательно, \(x-2>0\), то есть \(x>2\).
Условие \(x\ge0\) подходит для \(x^{\frac{m}{n}}\) при чётном \(n\) и неотрицательном показателе. При отрицательном показателе ноль исключается: например, \(0^{-\frac12}\) не существует. Это частный случай области допустимых значений выражения, а не отдельное правило только для степеней.
Какова область допустимых значений выражения \(\left(3-x\right)^{-\frac{2}{5}}\)?
Главное
- Сначала сократите дробный показатель и определите чётность его знаменателя.
- При чётном знаменателе основание должно быть неотрицательным; при отрицательном показателе ноль дополнительно исключается.
- При нечётном знаменателе допустимы отрицательные основания, но отрицательная степень всё равно запрещает нулевое основание.