Площадь сечения тетраэдра
Площадь сечения тетраэдра находят после того, как определены вершины и форма получившегося многоугольника. Основная идея такова: построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами, соединить точки, затем свести вычисление площади к известным формулам планиметрии.
Сечением тетраэдра плоскостью называется многоугольник, полученный при пересечении тетраэдра и секущей плоскости. Стороны сечения лежат на гранях тетраэдра, а вершины сечения — на рёбрах тетраэдра или в его вершинах.
Перед решением полезно повторить устройство фигуры на странице тетраэдр. Внутри общей темы сечение тетраэдра эта страница посвящена именно площади, а не только построению многоугольника.
Как построить сечение
Пусть дан тетраэдр \(ABCD\), а секущая плоскость проходит через точки, расположенные на его рёбрах. Обозначим эти точки, например, \(M\in AB\), \(N\in AC\), \(K\in AD\). Тогда точки \(M\), \(N\), \(K\) лежат в одной секущей плоскости и соединяются отрезками внутри соответствующих граней.
- Отметьте все заданные точки на рёбрах тетраэдра.
- Соедините точки, лежащие на одной грани. Например, \(M\) и \(N\) соединяются на грани \(ABC\), а \(M\) и \(K\) — на грани \(ABD\).
- Продолжайте построение по соседним граням, пока граница сечения не замкнётся.
- Проверьте, что каждая сторона сечения лежит в грани, а соседние стороны имеют общую вершину.
Если секущая плоскость пересекает две грани тетраэдра по отрезкам, то эти отрезки имеют общую точку тогда и только тогда, когда соответствующие грани имеют общее ребро. Поэтому построение удобно вести «по граням», не соединяя произвольные точки напрямую.
В общем случае сечение тетраэдра может быть треугольником или четырёхугольником. Пятиугольник получить нельзя: у тетраэдра всего четыре грани, и на каждой грани граница сечения является отрезком.
Формулы площади
После построения определите вид сечения. Для треугольника достаточно знать основание и высоту к нему. Для прямоугольника и параллелограмма используются произведение сторон и высота. Произвольный четырёхугольник удобно разбить диагональю на два треугольника.
Если в условии даны длины отрезков на рёбрах, сначала выразите стороны сечения. Для этого применяют подобие треугольников, теорему о средней линии, теорему Пифагора и свойства параллельных прямых. Для правильного тетраэдра может понадобиться формула его высоты со страницы высота правильного тетраэдра.
Какой многоугольник чаще всего получается, если плоскость пересекает все четыре грани тетраэдра?
Разобранный пример: сечение через середины рёбер
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\), \(N\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(AC\), \(AD\) соответственно. Найдите площадь сечения \(MNK\) через эти точки, если площадь грани \(ABC\) равна \(S\).
Точки \(M\), \(N\), \(K\) лежат на трёх рёбрах, выходящих из вершины \(A\). Поэтому сечение проходит по треугольнику \(MNK\). На грани \(ABC\) отрезок \(MN\) соединяет середины двух сторон, значит, он является средней линией треугольника. Аналогично рассматриваются стороны \(NK\) и \(MK\) в других гранях.
Следовательно, площадь сечения равна \(\frac{S}{4}\). Важно: в последнем шаге использовано, что тетраэдр правильный, то есть его грани — равные равносторонние треугольники. Для произвольного тетраэдра одного условия о серединах рёбер недостаточно, чтобы выразить площадь через площадь одной грани.
Другие удобные приёмы
- Если сечение параллельно грани тетраэдра, оно подобно этой грани. Линейный коэффициент подобия находят по отношению расстояний от вершины или по отношению соответствующих рёбер.
- Если сечение проходит через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, в правильном тетраэдре его стороны равны половинам рёбер противоположной грани.
- Чтобы найти площадь произвольного четырёхугольника, проведите диагональ и найдите площади двух треугольников. Диагональ должна быть отрезком сечения.
- Если известны две стороны треугольника и угол между ними, используйте формулу \(S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\).
- При сложном пространственном рисунке перенесите вычисления в плоскость одной грани или сечения: площадь определяется только плоскими длинами и углами.
1) Соединяют точки, лежащие на гранях, которые не имеют общего ребра. 2) Считают сечением треугольник, хотя плоскость пересекает все четыре грани. 3) Используют длину бокового ребра как высоту треугольника без доказательства перпендикулярности. 4) Забывают, что коэффициент подобия площадей равен квадрату линейного коэффициента. 5) Применяют свойства правильного тетраэдра к произвольному тетраэдру.
Сначала сделайте качественный чертёж и выпишите, на каких рёбрах находятся точки. Затем постройте границу сечения, определите его вид, найдите необходимые длины и только после этого подставляйте их в формулу площади. В конце проверьте единицы измерения и порядок величины ответа.
Связь с другими задачами
В задачах на периметр сечения тетраэдра сначала выполняют то же построение, но затем складывают стороны. Если требуется объём, полезны свойства объёма тетраэдра и отношения объёмов подобных пирамид. При сечениях других тел сравнивайте метод: для сечения правильной пирамиды также важны параллельность и подобие, а для цилиндра форма сечения зависит от положения плоскости; это разобрано на странице площадь сечения цилиндра.
Быстрая проверка
Главное
- Сечение тетраэдра — треугольник или четырёхугольник, его стороны лежат на гранях.
- Построение ведут по граням: соединяют точки, лежащие на одной грани, и замыкают границу.
- Площадь находят формулами планиметрии; четырёхугольник можно разделить диагональю на два треугольника.
- При подобии площадей коэффициент возводят в квадрат.
- Нельзя использовать свойства правильного тетраэдра, если в условии не сказано, что тетраэдр правильный.