Задание № 12 · ЕГЭ

Высота правильного тетраэдра

Формула высоты правильного тетраэдра через длину ребра

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Высота правильного тетраэдра с ребром \(a\) равна \(h=a\sqrt{\frac{2}{3}}\). Она перпендикулярна грани и проходит из вершины к центру противоположной грани.

Высота правильного тетраэдра — это перпендикуляр, проведённый из любой вершины к плоскости противоположной грани. В правильном тетраэдре все четыре грани являются равными правильными треугольниками, поэтому его высоты равны между собой и пересекаются в одной точке.

Формула

Обозначим ребро тетраэдра через \(a\), а высоту — через \(h\). Основание высоты находится в центре равностороннего треугольника — противоположной грани. Расстояние от центра этой грани до её вершины равно \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

\[h=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\]

Формулу получают из теоремы Пифагора: ребро тетраэдра, высота и расстояние от центра основания до его вершины образуют прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника внутри тетраэдра:

\(\displaystyle a^2=h^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2\)

Выразим квадрат высоты:

\(\displaystyle h^2=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2a^2}{3}\)

Высота положительна, поэтому берём положительный корень:

\(\displaystyle h=a\sqrt{\frac{2}{3}}\)

№

Пример

Пусть ребро правильного тетраэдра равно \(6\). Тогда \(h=6\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{6}\). Значит, высота равна \(2\sqrt{6}\).

Не перепутайте

Высота тетраэдра — не ребро и не высота его треугольной грани. Высота грани равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), а высота всего тетраэдра — \(\frac{a\sqrt{6}}{3}\). Не следует также путать её с общей высотой пирамиды: у правильного тетраэдра это частный случай, но формула зависит от формы основания.

Проверьте себя

Чему равна высота правильного тетраэдра с ребром \(3\)?

Главное за минуту

Главное

Высота правильного тетраэдра проводится из вершины к центру противоположной грани.
При ребре \(a\) высота равна \(h=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\).
Формула выводится по теореме Пифагора с использованием расстояния от центра равностороннего треугольника до его вершины.