Правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр — это многогранник из четырёх одинаковых равносторонних треугольников. Все его рёбра равны, а основные элементы симметричны относительно общего центра.
Основные формулы
[[visota-pravilnogo-tetraedra:Высота правильного тетраэдра]] соединяет вершину с центром противоположной грани. Она проходит через общий центр тетраэдра. Для ребра \(a\) высота равна \(h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\).
Здесь \(R\) — радиус описанной сферы, проходящей через все вершины, \(r\) — радиус вписанной сферы, касающейся всех граней, а \(V\) — объём. Центр обеих сфер совпадает с [[centroid-tetraedra:центроидом тетраэдра]]. Полезны соотношения \(R=3r\) и \(h=4r\).
Пусть ребро правильного тетраэдра равно \(6\). Тогда \(h=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\), а объём \(V=\frac{6^3\sqrt{2}}{12}=18\sqrt{2}\).
Правильный тетраэдр — не всякая [[treugolnaya-piramida:треугольная пирамида]]. У произвольной треугольной пирамиды грани и рёбра могут быть разными, поэтому формулы правильного тетраэдра к ней применять нельзя.
Во сколько раз радиус описанной сферы больше радиуса вписанной сферы в правильном тетраэдре?
Главное
- Правильный тетраэдр имеет четыре равные равносторонние грани и шесть равных рёбер.
- При ребре \(a\): \(h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\), \(R=\frac{a\sqrt{6}}{4}\), \(r=\frac{a\sqrt{6}}{12}\).
- Объём правильного тетраэдра равен \(V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\).