Центроид тетраэдра
Центроид тетраэдра — это его центр тяжести, точка равновесия однородного тетраэдра. Он лежит на каждой медиане тетраэдра и делит её в отношении \(3:1\), считая от вершины.
Основное свойство
Центроид принадлежит каждой медиане и делит её так, что расстояние от вершины до центроида втрое больше расстояния от центроида до центроида противоположной грани. Поэтому, если \(V\) — вершина, \(G\) — центроид тетраэдра, а \(M\) — центр тяжести противоположной грани, то \(V\), \(G\), \(M\) лежат на одной прямой, причём \(VG:GM=3:1\).
В координатах, если вершины тетраэдра имеют координаты \(A(x_1,y_1,z_1)\), \(B(x_2,y_2,z_2)\), \(C(x_3,y_3,z_3)\) и \(D(x_4,y_4,z_4)\), то координаты центроида равны средним арифметическим координат вершин:
Пусть \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C(0,4,0)\), \(D(0,0,4)\). Тогда центроид имеет координаты \(G(1,1,1)\): каждую координату складываем и делим на \(4\). На медиане из вершины \(A\) он делит отрезок до центра противоположной грани в отношении \(3:1\).
Центроид тетраэдра не обязан совпадать с центром описанной или вписанной сферы. В правильном тетраэдре эти центры совпадают из-за симметрии, но для произвольного тетраэдра это неверно.
Медиана тетраэдра имеет длину \(12\). На каком расстоянии от вершины находится центроид?
Главное
- Центроид — точка пересечения четырёх медиан тетраэдра и его центр тяжести.
- Он делит каждую медиану в отношении \(3:1\) от вершины.
- Координаты центроида получают как средние арифметические координат четырёх вершин.