Сечение правильной пирамиды
Сечение правильной пирамиды — это многоугольник, полученный при пересечении пирамиды плоскостью. В задачах важно правильно построить вершины сечения, определить его вид и выразить нужные элементы через сторону основания, высоту и апофему.
1. Основные понятия и свойства
Правильная пирамида имеет правильный многоугольник в основании, а её высота проходит через центр основания. Боковые рёбра равны, поэтому боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Перед решением полезно повторить свойства апофемы правильной пирамиды и способы нахождения высоты пирамиды.
Сечение пирамиды — многоугольник, полученный пересечением пирамиды и плоскости. Его вершины лежат на рёбрах пирамиды или на рёбрах основания, а стороны являются отрезками пересечения плоскости с гранями.
Если плоскость сечения параллельна основанию правильной пирамиды, то сечение подобно основанию. Коэффициент подобия равен отношению расстояния от вершины пирамиды до плоскости сечения к высоте пирамиды.
Здесь \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — центр основания, \(O'\) — проекция точки \(S\) на плоскость сечения, \(H=SO\) — высота пирамиды, а \(h=SO'\) — расстояние от вершины до сечения. Если задано расстояние от основания до сечения, то \(h=H-d\).
2. Как строить сечение
Построение выполняют по следу секущей плоскости на гранях. Если две точки сечения лежат на одной грани, их соединяют отрезком. Если плоскость пересекает соседние грани, общий отрезок этих пересечений и есть сторона сечения.
- Отметьте все заданные точки на соответствующих рёбрах.
- На каждой грани, где известны две точки сечения, соедините их прямой.
- Продлите построение на соседние грани, используя общие рёбра.
- Замкните полученный многоугольник и проверьте, что каждая его сторона лежит в грани пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде возможны, например, треугольное сечение через три боковых ребра, четырёхугольное сечение через два боковых ребра и два ребра основания, а также сечение, параллельное основанию. В правильной четырёхугольной пирамиде сечение, параллельное основанию, является квадратом.
Если плоскость параллельна основанию пирамиды, то она делит все боковые рёбра в одном и том же отношении: \(\frac{SA'}{SA}=\frac{SB'}{SB}=\dots=k\). Поэтому соответствующие стороны сечения пропорциональны сторонам основания.
Для произвольного сечения, не параллельного основанию, сначала устанавливают вид многоугольника и его стороны. Затем применяют планиметрию: теорему Пифагора, свойства равнобедренных треугольников и формулы площадей. Если требуется площадь боковой части пирамиды, может понадобиться площадь боковой поверхности пирамиды.
Плоскость параллельна основанию пирамиды и проходит через середины всех боковых рёбер. Какова площадь сечения относительно площади основания?
3. Вычисление элементов параллельного сечения
Наиболее частый тип задач — сечение правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Сначала находят коэффициент подобия, затем по нему вычисляют сторону, периметр или площадь сечения.
Если известна площадь сечения и требуется найти сторону основания, используют обратную формулу: \(a=\frac{a_{\text{сеч}}}{k}\) или \(S_{\text{осн}}=\frac{S_{\text{сеч}}}{k^2}\). Для правильного \(n\)-угольника площадь основания часто находят через апофему основания: \(S_{\text{осн}}=\frac12P_{\text{осн}}r\), где \(r\) — радиус вписанной окружности.
Сначала найдите линейный коэффициент \(k\), затем применяйте его к длинам в первой степени, к площадям — во второй степени. Нельзя умножать площадь на \(k\).
4. Разобранный пример
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания равна \(12\), высота \(SO=16\). Плоскость, параллельная основанию, находится на расстоянии \(4\) от основания. Найдите площадь сечения и периметр сечения.
Ответ: площадь сечения равна \(81\), периметр — \(36\). Важно, что расстояние \(4\) отсчитывается от основания, а не от вершины. Если бы было дано расстояние от вершины до сечения, коэффициент находили бы непосредственно как \(\frac{4}{16}\).
1. Путают расстояние от основания с расстоянием от вершины. 2. Используют \(k\) вместо \(k^2\) при вычислении площади. 3. Соединяют точки, лежащие на разных гранях, без проверки общей грани. 4. Считают боковое сечение равнобедренным треугольником, хотя его форма зависит от положения секущей плоскости. 5. Забывают, что в правильной четырёхугольной пирамиде параллельное основанию сечение — квадрат, а не произвольный четырёхугольник.
5. Непараллельные сечения и дополнительные связи
Если плоскость не параллельна основанию, подобие всей пирамиды и сечения обычно отсутствует. Тогда рассматривают отдельные грани и треугольники. Например, длину отрезка в боковой грани можно найти по теореме Пифагора, если известны апофема и высота соответствующего сечения.
При построении сечения через вершину пирамиды и диагональ основания часто получается треугольник. Его высоту находят в осевом сечении, а площадь — по формуле \(S=\frac12ah\). Для специальных случаев можно использовать сведения о высоте правильного тетраэдра, а при вычислении площадей треугольных частей — формулы из темы площадь сечения тетраэдра.
Если сечение образует многогранник, его объём иногда удобно получить как разность объёмов двух пирамид или применить формулу объёма тетраэдра к отдельным частям. Периметр составного сечения находят сложением длин всех его сторон, не включая линии, являющиеся внутренними границами разбиения.
Мысленно вращайте пирамиду так, чтобы секущая плоскость стала более наглядной. Но вычисления проводите только по исходным данным: видимый на рисунке отрезок не обязательно является настоящей длиной.
Быстрая проверка
Главное
- Сечение строят, соединяя точки, лежащие на одной грани, и последовательно переходя к соседним граням.
- Параллельное основанию сечение подобно основанию; его коэффициент подобия равен отношению расстояния от вершины до сечения к высоте пирамиды.
- Длины и периметры умножают на \(k\), площади — на \(k^2\).
- Для непараллельных сечений используют свойства отдельных граней, подобие в отдельных треугольниках и теорему Пифагора.
- Перед вычислениями обязательно уточняют, от какой точки отсчитывается данное расстояние.