Тапсырма № 11 · ЕГЭ

Площадь поверхности конуса

Боковая и полная площадь поверхности прямого конуса

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Площадь поверхности конуса — это площадь всей его наружной поверхности. Для прямого конуса различают площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности, включающую также основание.

Площадь боковой поверхности прямого конуса — площадь его круговой части без основания. Площадь полной поверхности — сумма площади боковой поверхности и площади основания. Обозначают радиус основания буквой \(r\), образующую — буквой \(l\).

Формулы

В прямом конусе образующая \(l\) — это отрезок от вершины до точки окружности основания. Площадь боковой поверхности равна произведению числа \(\pi\), радиуса основания и образующей. Площадь основания — \(\pi r^2\).

\[S_{\text{бок}}=\pi r l\]

\[S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+\pi r^2=\pi r(l+r)\]

Если известны радиус \(r\) и высота \(h\), образующую находят по теореме Пифагора: \(l=\sqrt{r^2+h^2}\), поскольку высота перпендикулярна основанию. Поэтому сначала вычисляют \(l\), а затем подставляют её в формулу площади.

№

Пример

Дан прямой конус с радиусом основания \(r=3\) см и образующей \(l=5\) см. Боковая площадь: \(S_{\text{бок}}=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\) см\(^2\). Полная площадь: \(S_{\text{полн}}=\pi\cdot3(5+3)=24\pi\) см\(^2\).

Не перепутайте

Площадь боковой поверхности не содержит площадь основания: \(S_{\text{бок}}=\pi rl\). В полной площади основание только одно, поэтому используется выражение \(\pi rl+\pi r^2\), а не удвоенная площадь основания. Это отличается от формул для площади поверхности цилиндра.

Проверьте себя

Какую формулу используют для полной поверхности прямого конуса?

Главное за минуту

Главное

Боковая площадь прямого конуса: \(S_{\text{бок}}=\pi rl\).
Полная площадь: \(S_{\text{полн}}=\pi r(l+r)\); она включает одно основание.
Если дана высота, сначала находят образующую: \(l=\sqrt{r^2+h^2}\).