Задания № 11, 12 · ЕГЭ

Усечённый конус

Определение, элементы и основные формулы

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Усечённый конус — это часть конуса, заключённая между его основанием и сечением плоскостью, параллельной основанию. У него два параллельных круглых основания разных радиусов и боковая поверхность.

Усечённый конусНазвание связано с тем, что верхняя часть конуса как бы «усечена».

Тело, полученное отсечением верхней части конуса плоскостью, параллельной его основанию. Больший радиус основания обозначают \(R\), меньший — \(r\), высоту — \(h\), а образующую — \(l\).

К элементам усечённого конуса относятся два основания, их радиусы \(R\) и \(r\), высота \(h\) и образующая \(l\). Высота — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Для прямого усечённого конуса образующая, высота и разность радиусов связаны соотношением \(l^2=h^2+(R-r)^2\).

Формулы

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению числа \(\pi\), суммы радиусов и образующей. Полная площадь поверхности складывается из боковой площади и площадей двух оснований.

\[S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l\]

\[S_{\text{полн}}=\pi(R+r)l+\pi R^2+\pi r^2\]

Объём усечённого конуса вычисляют через его высоту и оба радиуса:

\[V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)\]

№

Пример

Пусть \(R=5\) см, \(r=3\) см, \(h=4\) см. Тогда объём равен \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot4(25+15+9)=\frac{196\pi}{3}\) см\(^3\). Для площади поверхности сначала нужно найти образующую: \(l=\sqrt{4^2+(5-3)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) см.

Не перепутайте

Усечённый конус не имеет вершины: она удалена сечением. Не следует использовать формулу объёма обычного [[obem-konusa:конуса]] \(V=\frac13\pi R^2h\), потому что у усечённого конуса учитываются оба радиуса.

Проверьте себя

Как изменится объём, если радиусы оснований усечённого конуса поменять местами?

Главное за минуту

Главное

Усечённый конус образуется сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.
\(S_{\text{полн}}=\pi(R+r)l+\pi R^2+\pi r^2\).
\(V=\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2)\).