Тапсырма № 12 · ЕГЭ

Площадь поверхности усечённого конуса

Как находить площадь боковой и полной поверхности усечённого конуса

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Площадь поверхности усечённого конуса складывается из площади его боковой поверхности и площадей двух оснований. Для вычислений нужны радиусы оснований и образующая.

Усечённый конусНазвание связано с тем, что верхняя часть конуса как бы отсечена плоскостью, параллельной основанию.

Усечённый конус — часть конуса между его основанием и сечением, параллельным основанию. Он имеет два круглых основания радиусов \(R\) и \(r\) и боковую поверхность. Обычно \(R>r\). Обозначения и свойства подробнее разобраны в статье об усечённом конусе, а радиусы, высота и образующая относятся к его элементам.

Формулы площади

Пусть \(R\) — радиус большего основания, \(r\) — радиус меньшего основания, а \(l\) — образующая усечённого конуса. Боковая поверхность разворачивается в часть кольца, поэтому её площадь зависит от суммы радиусов и образующей.

\[S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l\]

Полная поверхность включает боковую поверхность и оба основания. Площади оснований равны \(\pi R^2\) и \(\pi r^2\).

\[S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+\pi R^2+\pi r^2=\pi(R+r)l+\pi R^2+\pi r^2\]

Если известны высота \(h\) и радиусы оснований, образующую находят по прямоугольному треугольнику в осевом сечении: \(l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}\). Затем это значение подставляют в формулу боковой или полной поверхности.

№

Пример

Пусть \(R=5\) см, \(r=3\) см, \(l=4\) см. Тогда \(S_{\text{бок}}=\pi(5+3)\cdot4=32\pi\) см². Полная площадь равна \(32\pi+25\pi+9\pi=66\pi\) см².

Не перепутайте

Площадь боковой поверхности не содержит площади оснований: \(S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l\). Если в ответе должны учитываться все внешние части тела, используйте площадь полной поверхности \(S_{\text{полн}}\). Радиус и образующую нельзя менять местами: \(R\) и \(r\) измеряются в основаниях, а \(l\) — по боковой поверхности.

Проверь себя

Какую формулу используют для полной поверхности усечённого конуса?

Главное за минуту

Главное

Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l\).
Площадь полной поверхности: \(S_{\text{полн}}=\pi(R+r)l+\pi R^2+\pi r^2\).
При известных \(h\), \(R\) и \(r\) сначала находят образующую: \(l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}\).