Углы при параллельных прямых
Если две прямые пересечены третьей прямой, образуются восемь углов. При параллельных прямых часть из них равна, а другая часть в сумме даёт \(180^\circ\). На этой странице разберём, как быстро находить равные углы и углы, связанные с ними.
1. Базовая схема и обозначения
Сначала вспомним, что виды углов и их измерение помогают определить величину угла: острый угол меньше \(90^\circ\), прямой равен \(90^\circ\), тупой больше \(90^\circ\), а развёрнутый равен \(180^\circ\). Рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\), пересечённые секущей \(c\). Точки пересечения обозначим \(A\) и \(B\). Вокруг точки \(A\) находятся углы \(1,2,3,4\), а вокруг точки \(B\) — углы \(5,6,7,8\).
Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Прямая, пересекающая две другие прямые в двух различных точках, называется секущей. Обычно параллельность обозначают \(a\parallel b\).
Полезно помнить свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Также смежные углы в сумме составляют \(180^\circ\). Эти два факта позволяют решать задачи даже тогда, когда нужные углы не названы напрямую.
2. Три пары углов при параллельных прямых
Соответственные углы занимают одинаковое положение относительно секущей и каждой из двух прямых. На схеме это пары \((1,5)\), \((2,6)\), \((3,7)\) и \((4,8)\). Если \(a\parallel b\), то соответствующие углы равны.
Накрест лежащие углы лежат между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. На схеме это пары \((3,5)\) и \((4,6)\). При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
Односторонние углы лежат между двумя прямыми по одну сторону секущей. На схеме это пары \((3,6)\) и \((4,5)\). Их сумма при параллельных прямых равна \(180^\circ\).
Таким образом, при параллельных прямых образуются две группы величин: острые углы равны между собой, тупые углы равны между собой, а любой острый и соседний с ним тупой угол в сумме дают \(180^\circ\).
Какими являются углы \(3\) и \(5\) на схеме?
3. Теоремы: как доказать параллельность
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если односторонние углы в сумме дают \(180^\circ\), то прямые параллельны.
Это обратные утверждения к свойствам углов при параллельных прямых. В экзаменационных задачах часто нужно не только найти угол, но и обосновать, что две прямые параллельны. Тогда определите вид пары углов и примените соответствующий признак.
Если один угол известен и равен \(\alpha\), то все углы, равные ему, имеют величину \(\alpha\), а смежные с ними углы равны \(180^\circ-\alpha\). Поэтому достаточно найти один угол и понять, к какой группе относится каждый следующий.
4. Алгоритм решения задач
- Проверьте, действительно ли прямые параллельны, или это требуется доказать.
- Найдите секущую — прямую, которая пересекает обе данные прямые.
- Определите взаимное положение нужных углов: соответствующие, накрест лежащие, односторонние, вертикальные или смежные.
- Запишите равенство углов или их сумму \(180^\circ\).
- Вычислите неизвестную величину и проверьте, что она лежит между \(0^\circ\) и \(180^\circ\).
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны. При их пересечении секущей один из острых углов равен \(38^\circ\). Найдите угол, односторонний с ним, и угол, вертикальный к данному.
Ответ: односторонний угол равен \(142^\circ\), а вертикальный к данному — \(38^\circ\). Заметьте: здесь использованы сразу два свойства — односторонних и вертикальных углов.
5. Частые ошибки и полезные приёмы
Соответственные и накрест лежащие углы равны, а односторонние углы в сумме дают \(180^\circ\). Нельзя писать \(\angle 3+\angle 5=180^\circ\): это накрест лежащие углы, поэтому \(\angle 3=\angle 5\).
Нельзя применять свойства углов при параллельных прямых только потому, что рисунок выглядит параллельным. Ищите условие \(a\parallel b\) или используйте один из признаков параллельности.
Если величина острого угла равна \(\alpha\), то все острые углы на рисунке равны \(\alpha\), а все тупые равны \(180^\circ-\alpha\). Это быстрее, чем каждый раз заново классифицировать пару.
В задачах с треугольниками те же правила часто соединяются со свойствами внешнего угла треугольника и углов трапеции. Если секущая является стороной треугольника, внимательно отслеживайте, где внутренний угол, а где внешний.
Итоговая проверка
Главное
- При параллельных прямых соответствующие и накрест лежащие углы равны.
- Односторонние углы в сумме дают \(180^\circ\).
- Равенство соответствующих или накрест лежащих углов, а также сумма односторонних углов \(180^\circ\) доказывают параллельность прямых.
- Вертикальные углы равны, смежные углы в сумме составляют \(180^\circ\).
- Для решения сначала определите положение углов, затем выберите нужное свойство.