Радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности треугольника равен отношению его площади к полупериметру: \(r=\frac{S}{p}\). Эта формула позволяет найти радиус, если известны площадь треугольника и его полупериметр.
Формула
Если \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — его полупериметр, то радиус вписанной окружности вычисляют по формуле:
Поскольку \(p=\frac{a+b+c}{2}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, формулу можно записать и так:
Площадь треугольника можно представить как сумму площадей трёх треугольников с общей высотой \(r\) и основаниями \(a\), \(b\), \(c\): \(S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}(a+b+c)r=pr\). Отсюда \(r=\frac{S}{p}\).
Площадь треугольника равна \(24\ \text{см}^2\), а полупериметр — \(12\ \text{см}\). Тогда \(r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2\ \text{см}\). Значит, радиус вписанной окружности равен \(2\) см.
Радиус вписанной окружности обозначают \(r\) и находят по формуле \(r=\frac{S}{p}\). Радиус описанной окружности обозначают \(R\); это другое понятие и другая формула.
Площадь треугольника равна \(30\ \text{см}^2\), а полупериметр — \(15\ \text{см}\). Чему равен радиус вписанной окружности?
Главное
- Радиус вписанной окружности треугольника: \(r=\frac{S}{p}\).
- \(S\) — площадь треугольника, \(p=\frac{a+b+c}{2}\) — его полупериметр.
- Формула следует из равенства \(S=pr\): площадь треугольника равна произведению радиуса на полупериметр.