Импликация
Импликация — это логическая связка, которая соединяет два высказывания в конструкцию «если первое, то второе». Она истинна во всех случаях, кроме одного: когда условие истинно, а следствие ложно.
Таблица истинности
Значение импликации определяется по значениям входящих высказываний. Для построения полной таблицы истинности рассматривают все четыре сочетания истинности \(A\) и \(B\).
| \(A\) | \(B\) | \(A \to B\) |
|---|---|---|
| истина | истина | истина |
| истина | ложь | ложь |
| ложь | истина | истина |
| ложь | ложь | истина |
Таким образом, импликация равносильна дизъюнкции отрицания условия и следствия: «не \(A\) или \(B\)». Ложной она становится только тогда, когда обещанное условием событие произошло, но следствие не выполнилось.
Пусть \(A\): «Число делится на 4», а \(B\): «Число делится на 2». Высказывание «если число делится на 4, то оно делится на 2» истинно: при истинном условии следствие также истинно. Если же взять утверждение «если число делится на 4, то оно делится на 3», то при числе 4 условие истинно, а следствие ложно — вся импликация ложна.
Импликация не означает, что условие обязательно истинно. Если \(A\) ложно, то \(A \to B\) считается истинной независимо от значения \(B\). Это формальное правило логических операций, а не утверждение о причинно-следственной связи в обычной речи.
Каково значение импликации \(A \to B\), если \(A\) — истина, а \(B\) — ложь?
Главное
- Импликация \(A \to B\) читается «если \(A\), то \(B\)».
- Она ложна только при \(A=1\) и \(B=0\); во всех остальных случаях истинна.
- Импликацию можно заменить формулой \(\neg A \lor B\).