Задания № 1, 3 · ЕГЭ

Равносильность высказываний

Как определить, что два логических выражения всегда дают один и тот же результат

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Равносильность высказываний означает, что два логических выражения имеют одинаковые значения истинности при любых значениях входящих в них простых высказываний. Такие выражения можно заменять друг на друга без изменения результата рассуждения.

Равносильность высказываний«Равно» означает одинаково, а «сильный» в данном термине исторически связан со значением «имеющий одинаковую силу».

Два логических выражения называются равносильными, если при каждом наборе значений истинности их переменных они принимают одинаковые значения: оба истинны или оба ложны.

Логические выражения строятся с помощью логических операций и связок: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и других. Равносильность проверяют сравнением последних столбцов таблиц истинности. Если столбцы совпадают во всех строках, выражения равносильны.

\[A \equiv B \quad\Longleftrightarrow\quad \text{при любых значениях переменных } A \text{ и } B \text{ имеют одинаковую истинность}.\]

№

Пример

Выражения \(A \land B\) и \(B \land A\) равносильны. Перестановка высказываний в конъюнкции не меняет результата: оба выражения истинны только тогда, когда истинны и \(A\), и \(B\).

Не путайте

Равносильность — это не просто совпадение результата в одном случае. Если два выражения дали одинаковый ответ при конкретных значениях переменных, это ещё не доказывает их равносильность. Нужно проверить все возможные наборы значений, например с помощью таблицы истинности.

Проверьте себя

Равносильны ли выражения \(\neg(A \land B)\) и \(\neg A \lor \neg B\)?

Равносильные преобразования используют при упрощении логических выражений. Например, выражение можно заменить более коротким, если доказана его равносильность исходному. Для этого применяют свойства операций, в том числе законы де Моргана.

Главное за минуту

Главное

Равносильные выражения имеют одинаковую истинность при любых значениях переменных.
Равносильность обозначают знаком \(\equiv\) и проверяют по всем строкам таблицы истинности.
Одинаковый результат в одном примере ещё не доказывает равносильность.