Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрические функции связаны с комплексной экспонентой формулой Эйлера: \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\). Из неё получают удобные выражения для синуса и косинуса через экспоненты, а также тригонометрическую форму комплексного числа.
Комплексная экспонента и формула Эйлера
Для действительного числа \(x\) экспонента \(e^x\) задаётся рядом или известными свойствами показательной функции. Если вместо \(x\) подставить чисто мнимое число \(i\varphi\), где \(i^2=-1\), возникает комплексная экспонента \(e^{i\varphi}\). Она не растёт по модулю, а описывает вращение на комплексной плоскости.
Комплексная экспонента \(e^{i\varphi}\) — число, соответствующее повороту единичного вектора на угол \(\varphi\) против часовой стрелки. Его действительная часть равна \(\cos\varphi\), а мнимая часть — \(\sin\varphi\).
Это и есть формула Эйлера. Она объединяет число \(e\), мнимую единицу \(i\), число \(\pi\) и тригонометрические функции. При \(\varphi=\pi\) получаем знаменитое равенство \(e^{i\pi}+1=0\).
Если \(z=a+bi\) и \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\), то при \(z\ne0\) число можно записать в виде \(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}\). Здесь \(\varphi\) — аргумент числа \(z\), определённый с точностью до \(2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
Как получить синус и косинус через экспоненту
Запишем формулу Эйлера для угла \(\varphi\) и для противоположного угла \(-\varphi\). Используем чётность косинуса и нечётность синуса: \(\cos(-\varphi)=\cos\varphi\), \(\sin(-\varphi)=-\sin\varphi\).
Сложим эти равенства. Мнимые части уничтожатся, и останется удвоенный косинус. Если же вычесть второе равенство из первого, действительные части уничтожатся, а разность будет равна \(2i\sin\varphi\).
Косинус получается суммой экспонент и делением на \(2\). Синус получается разностью экспонент и делением на \(2i\). В формуле синуса порядок \(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}\) важен.
Какое выражение равно \(\sin x\)?
Свойства и практическое применение
Формула Эйлера позволяет компактно записывать тригонометрические тождества. Например, произведение экспонент складывает показатели: \(e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}\). Раскрывая обе части формулой Эйлера и сравнивая действительные и мнимые части, получают формулы сложения.
Комплексное сопряжение меняет знак мнимой части. Поэтому для действительного \(\varphi\) число \(e^{-i\varphi}\) является сопряжённым к \(e^{i\varphi}\), а их сумма всегда действительна. Это объясняет, почему в формуле косинуса стоит сумма, а в формуле синуса — разность.
Для любых действительных \(\alpha\) и \(\beta\): \(e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}\), \(\frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}=e^{i(\alpha-\beta)}\), \((e^{i\alpha})^n=e^{in\alpha}\) для целого \(n\).
В задачах экзамена формулы (1) и (2) применяют для преобразования выражений, содержащих \(e^{ix}\) и \(e^{-ix}\), а также для доказательства тождеств. При переходе от \(z=a+bi\) к форме \(re^{i\varphi}\) сначала находят модуль, затем аргумент с учётом четверти.
Разобранный пример
Вычислим \(\frac{e^{i\pi/3}-e^{-i\pi/3}}{2i}\) и представим результат в обычном виде.
Показать решение Решение
Выражение имеет точно форму формулы для синуса.
Если требуется вычислить сумму \(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}\), аналогично применяем формулу косинуса и получаем \(2\cos(\pi/3)=1\).
1. Не путайте делители: у косинуса стоит \(2\), у синуса — \(2i\). 2. Нельзя заменить \(e^{-i\varphi}\) на \(-e^{i\varphi}\): это разные числа. 3. При записи \(z=re^{i\varphi}\) не забывайте, что аргумент зависит от четверти. 4. В радианной мере \(\pi/3\) — это \(60^\circ\), но смешивать градусы и радианы в одной формуле нельзя.
Связь с решением уравнений особенно полезна как теоретический инструмент: после обратного перехода к синусу или косинусу можно использовать методы со страниц уравнения sin x = a и уравнения cos x = a. С производными комплексная запись также связана через правило \((e^{ix})'=ie^{ix}\), хотя для школьных задач обычно достаточно формул (1) и (2).
Связь с другими формами записи
Одно и то же число можно записать алгебраически, тригонометрически или показательно:
| Форма | Запись | Что удобно находить |
|---|---|---|
| Алгебраическая | \(z=a+bi\) | Сумму и разность комплексных чисел |
| Тригонометрическая | \(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) | Модуль и аргумент |
| Показательная | \(z=re^{i\varphi}\) | Произведение, частное и степени |
Тригонометрическая и показательная формы равны благодаря формуле Эйлера. Поэтому для степени часто используют формулу Муавра: \(z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\), или ещё короче \(z^n=r^ne^{in\varphi}\). Обратный переход к синусу и косинусу подробно рассматривается на странице синус и косинус через экспоненту, а набор тождеств — на странице тригонометрические тождества через экспоненту.
Проверь себя
Главное
- Формула Эйлера: \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\).
- Синус через экспоненту: \(\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\).
- Косинус через экспоненту: \(\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}\).
- Комплексное число имеет форму \(z=re^{i\varphi}\), где \(r\) — модуль, а \(\varphi\) — аргумент.
- Сумма и разность экспонент позволяют выводить тождества и упрощать вычисления со степенями комплексных чисел.