Алгоритм решения задач на смеси
Задачи на смеси решают по одному общему принципу: выделяют нужное вещество, составляют уравнение по его количеству и проверяют смысл ответа. Алгоритм подходит для растворов, сплавов, смесей веществ, а также задач на массовую долю и расчет плотности смеси.
1. Основные величины и обозначения
В задаче сначала определите, о какой величине идет речь: о массе смеси, массе чистого вещества, объеме, концентрации или плотности. Удобно обозначать массу всей смеси буквой \(m\), массу растворенного вещества — \(m_{в}\), объем — \(V\), массовую долю — \(w\), а плотность — \(\rho\).
Раствор — однородная смесь, состоящая из растворителя и растворенного вещества. Масса раствора равна сумме масс его частей: \(m_{раствора}=m_{в}+m_{растворителя}\). Например, в соленой воде соль — растворенное вещество, вода — растворитель.
Массовая доля показывает, какую часть массы смеси составляет выбранное вещество. Если она задана в процентах, то перед подстановкой в формулу процент переводят в десятичную дробь: \(8\%=0{,}08\), \(35\%=0{,}35\).
Полезно повторить определения на странице концентрация смеси и заранее изучить формулу плотности смеси. В задачах на объем раствора помогает страница объем раствора, а при поиске массы — масса раствора.
2. Закон сохранения вещества в смеси
При смешивании двух или нескольких порций вещества масса каждой части переходит в общую смесь. Поэтому масса смеси равна сумме масс исходных порций. Если речь идет о растворенном веществе, то его масса также складывается: часть соли из первого раствора плюс часть соли из второго раствора равна массе соли в итоговом растворе.
Для любой смеси можно записать: количество нужного вещества в исходных частях = количество нужного вещества в полученной смеси. Для массовой доли это обычно выглядит так: сумма произведений «масса порции × ее доля» равна «масса всей смеси × ее итоговая доля».
Если одна из частей — чистое вещество, ее доля равна \(1\) (или \(100\%\)). Если это чистый растворитель, доля нужного вещества равна \(0\). Например, при добавлении воды в раствор у воды в уравнении появляется слагаемое \(m_{воды}\cdot0=0\), но ее масса увеличивает общую массу раствора.
- Выберите неизвестную величину и обозначьте ее буквой.
- Приведите все проценты к десятичным дробям, а единицы измерения — к одинаковым единицам.
- Найдите массу нужного вещества в каждой исходной части.
- Сложите массы частей и приравняйте их к массе вещества в итоговой смеси.
- Решите уравнение и проверьте, подходит ли ответ по смыслу.
3. Универсальный алгоритм решения
Для каждой задачи полезно составлять краткую таблицу. В ней указывают массу порции, массовую долю нужного вещества и массу этого вещества. Последний столбец рассчитывают как произведение массы порции на долю.
| Порция | Масса | Доля вещества | Масса вещества |
|---|---|---|---|
| 1-я смесь | \(m_1\) | \(w_1\) | \(m_1w_1\) |
| 2-я смесь | \(m_2\) | \(w_2\) | \(m_2w_2\) |
| Итоговая смесь | \(m_1+m_2\) | \(w\) | \((m_1+m_2)w\) |
Если в условии дана масса чистого вещества, ее можно сразу поставить в уравнение. Если дана плотность, сначала переведите объем в массу или массу в объем. Плотность — это отношение массы к объему:
При смешивании жидкостей часто используют приближение \(V_{смеси}=V_1+V_2\). В школьных задачах это правило применяется, если отдельно не сказано, что объем изменяется при смешивании. Тогда плотность смеси вычисляют как отношение общей массы к общему объему.
В 200 г раствора с массовой долей соли 15% добавили 100 г воды. Какой стала масса соли?
4. Разобранный пример
Смешали \(300\) г \(20\%\)-го раствора соли и некоторое количество \(50\%\)-го раствора соли. Получили \(30\%\)-й раствор. Найдите массу второго раствора.
Обозначим массу второго раствора через \(x\) г. Сначала найдем массы соли в обеих исходных порциях. В первой порции соли \(300\cdot0{,}20=60\) г, во второй — \(x\cdot0{,}50=0{,}5x\) г. Масса итогового раствора равна \(300+x\), а соли в нем должно быть \((300+x)\cdot0{,}30\).
Ответ: нужно взять \(150\) г \(50\%\)-го раствора. Проверка: соли было \(60+75=135\) г, общая масса стала \(450\) г, а \(135/450=0{,}3=30\%\).
5. Задачи на плотность смеси
Для расчета плотности смеси важно не усреднять плотности обычным сложением или делением пополам. Сначала находят массу каждой жидкости через \(m=\rho V\), затем складывают массы и объемы, после чего делят общую массу на общий объем.
Если объемы двух жидкостей складываются, то плотность смеси равна взвешенному среднему плотностей: каждая плотность умножается на соответствующий объем.
Например, смешали \(2\) л жидкости плотностью \(800\) кг/м³ и \(3\) л жидкости плотностью \(1000\) кг/м³. Общая масса равна \(800\cdot2+1000\cdot3=4600\) кг·л/м³ в согласованной записи, а при использовании литров и кг/л нужно предварительно перевести плотности. Проще взять \(0{,}8\) кг/л и \(1\) кг/л: масса равна \(1{,}6+3=4{,}6\) кг, объем — \(5\) л, плотность — \(0{,}92\) кг/л, или \(920\) кг/м³.
1. Процент оставляют числом \(20\), а не \(0{,}20\). 2. В знаменателе берут массу одной порции вместо массы всей смеси. 3. Складывают проценты без учета масс порций. 4. Забывают, что вода имеет долю растворенного вещества \(0\). 5. Смешивают литры, миллилитры, килограммы и граммы без перевода единиц. 6. Для плотности используют простое среднее \((\rho_1+\rho_2)/2\), хотя объемы порций различны.
Итоговая массовая доля смеси из двух растворов должна лежать между долями исходных растворов, если не добавляли чистое вещество или растворитель. Плотность при аналогичных условиях тоже должна находиться между исходными плотностями.
6. Особые виды задач
При разбавлении раствора добавляют растворитель, поэтому масса растворенного вещества не меняется, а масса раствора увеличивается. Такой тип подробно рассматривается на странице разбавление раствора. При смешивании нескольких растворов удобно пользоваться страницей смешивание растворов.
В задачах, где изменяется цена смеси, действует тот же принцип: общая стоимость равна сумме стоимостей частей. Это аналогично задачам на обратную задачу о цене. Не смешивайте этот алгоритм с последовательным изменением одной и той же величины: для скидок и наценок есть отдельная тема последовательные скидки и наценки.
Итоговая проверка
Главное
- Переводите проценты в десятичные дроби и приводите единицы к единой системе.
- Массу нужного вещества в порции находят по формуле \(m_{в}=wm\).
- При смешивании сохраняется масса каждого вещества: сумма исходных масс равна массе в итоговой смеси.
- Для плотности смеси сначала находят общую массу и общий объем, затем используют \(\rho=m/V\).
- Ответ проверяют по диапазону: итоговая доля или плотность обычно находится между соответствующими значениями исходных компонентов.