Задание № 14 · ЕГЭ

Формулы сложения

Как находить синус, косинус и тангенс суммы или разности углов

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Формулы сложения выражают синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов через значения этих функций для каждого угла отдельно. Они позволяют преобразовывать выражения и решать тригонометрические задачи без вычисления самого угла.

Формулы сложения

Это тригонометрические формулы для \(\sin(\alpha\pm\beta)\), \(\cos(\alpha\pm\beta)\) и \(\tan(\alpha\pm\beta)\) через \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\sin\beta\) и \(\cos\beta\). Формулы входят в систему основных тригонометрических тождеств и применяются при любых углах, для которых выражения имеют смысл.

Основные формулы

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]

\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\]

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]

\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\]

\[\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\]

В формулах для синуса знак сохраняется: плюс соответствует сумме, минус — разности. В формулах для косинуса знак меняется на противоположный. Для тангенса в знаменателе должны выполняться условия существования: нельзя делить на ноль; кроме того, тангенсы отдельных углов должны быть определены.

№

Пример

Найдём \(\sin(45^\circ+30^\circ)\). По формуле суммы получаем \(\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).

Не перепутайте знаки

Частая ошибка — считать, что знак в формуле косинуса такой же, как в скобках. На самом деле \(\cos(\alpha+\beta)\) содержит минус, а \(\cos(\alpha-\beta)\) — плюс. Не следует также путать эти формулы с основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

Проверьте себя

Как раскрывается \(\cos(\alpha-\beta)\)?

Главное за минуту

Главное

Синус раскрывается по правилу «синус на косинус плюс или минус косинус на синус».
В формуле косинуса знак противоположен знаку между углами.
Формулы тангенса требуют ненулевого знаменателя и определённости тангенсов отдельных углов.