Формулы приведения
Формулы приведения позволяют заменить синус, косинус, тангенс или котангенс сложного угла на значение той же или другой функции от острого угла первой четверти. Для этого нужно определить, изменится ли функция и какой знак имеет результат.
Что называют приведением
Угол записывают в виде суммы или разности табличного угла \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\) или \(\frac{3\pi}{2}\) и некоторого острого угла \(\alpha\), где \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\). Затем применяют правило приведения. Например, угол \(\frac{5\pi}{6}\) представляется как \(\pi-\frac{\pi}{6}\), поэтому его можно свести к углу \(\frac{\pi}{6}\).
Формула приведения — равенство, которое преобразует тригонометрическую функцию угла вида \(k\pi\pm\alpha\) или \(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\) в функцию острого угла \(\alpha\). Знак результата определяется четвертью, в которой находится исходный угол.
При работе полезно помнить знаки тригонометрических функций в четвертях и свойства чётности и нечётности тригонометрических функций.
Два шага формулы приведения
Любое приведение удобно выполнять по алгоритму.
- Представьте угол как \(k\pi\pm\alpha\) или \(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\), где \(\alpha\) — острый угол.
- Определите знак исходной функции по четверти или по известному знаку соответствующего выражения.
- Если в аргументе присутствует \(\pi\) или \(2\pi\), название функции сохраняется; если присутствует \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\), синус и косинус меняются местами, тангенс и котангенс также меняются местами.
- Поставьте найденный знак перед функцией от \(\alpha\).
При приведении к углам \(k\pi\pm\alpha\) функция сохраняется: синус остаётся синусом, косинус — косинусом, тангенс — тангенсом. При приведении к углам \(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\) функция меняется на софункцию: \(\sin\leftrightarrow\cos\), \(\tan\leftrightarrow\cot\).
На \(\pi\) функция не меняется, на \(\frac{\pi}{2}\) меняется. Знак всегда определяйте отдельно: он зависит от положения исходного угла, а не от самого факта приведения.
Как преобразуется \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)?
Таблица основных случаев
Ниже приведены наиболее часто используемые случаи. Во всех формулах \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\). Знаки уже указаны с учётом положения угла.
| Исходный угол | Синус | Косинус | Тангенс |
|---|---|---|---|
| \(\pi-\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\tan\alpha\) |
| \(\pi+\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) |
| \(2\pi-\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(-\tan\alpha\) |
| \(\frac{\pi}{2}-\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
| \(\frac{\pi}{2}+\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(-\cot\alpha\) |
| \(\frac{3\pi}{2}-\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
| \(\frac{3\pi}{2}+\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(-\cot\alpha\) |
Для тангенса и котангенса знак можно проверить отдельно по четверти. Их период равен \(\pi\), поэтому, например, \(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\), а котангенс через синус и косинус можно проверять по отношению \(\frac{\cos x}{\sin x}\).
Разобранный пример
Вычислим \(\cos\frac{5\pi}{6}\).
Тот же алгоритм работает и для нетабличных острых углов. Например, \(\sin\frac{7\pi}{6}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12\). Если значение \(\sin\alpha\) или \(\cos\alpha\) задано условием, табличность самого угла не требуется.
Пусть \(\cos\alpha=\frac35\), а \(0<\alpha<\frac\pi2\). Тогда \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\). При необходимости синус находят из основного тригонометрического тождества: \(\sin\alpha=\frac45\), поэтому \(\sin(\pi+\alpha)=-\frac45\).
Как не ошибиться со знаком
Сначала определите четверть исходного угла, а уже затем записывайте знак. Например, \(\frac{3\pi}{2}-\alpha\) находится в третьей четверти: синус и косинус отрицательны, тангенс положителен. Поэтому \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha\), а \(\tan\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha\).
- I четверть: все четыре функции положительны.
- II четверть: положителен только синус.
- III четверть: положительны тангенс и котангенс.
- IV четверть: положителен только косинус.
1. Меняют функцию при угле \(\pi\pm\alpha\): это неверно, функция сохраняется. 2. Ставят знак по виду формулы, не определив четверть. 3. Путают \(\frac{\pi}{2}-\alpha\) и \(\frac{\pi}{2}+\alpha\): в первом случае косинус положителен, во втором — отрицателен. 4. Забывают, что \(\tan x\) и \(\cot x\) не определены там, где знаменатель равен нулю.
Если угол дан в градусах, сначала переведите его к понятной форме: \(180^\circ\pm\alpha\), \(90^\circ\pm\alpha\) или \(360^\circ-\alpha\). Если угол дан в радианах, используйте \(\pi\) вместо \(180^\circ\) и \(\frac\pi2\) вместо \(90^\circ\).
Тренировка
Проверь себя
Главное
- Представляйте аргумент через \(\pi\), \(2\pi\) или \(\frac\pi2\) и острый угол первой четверти.
- При \(k\pi\pm\alpha\) название функции сохраняется; при \(\frac\pi2\pm\alpha\) функция заменяется на софункцию.
- Знак определяйте по четверти исходного угла, а не по острому углу \(\alpha\).
- Проверяйте результат по периодичности и знакам: \(\sin\) и \(\cos\) имеют период \(2\pi\), а \(\tan\) и \(\cot\) — период \(\pi\).