Сравнение чисел в одной системе счисления
Чтобы сравнить два числа, записанные в одной позиционной системе счисления, не всегда нужно переводить их в десятичную систему. Достаточно правильно сравнить длину записей, а затем цифры, начиная со старшего разряда.
Основные понятия
Пусть числа записаны в системе счисления с основанием \(b\). В такой системе используются цифры от \(0\) до \(b-1\). Например, в троичной системе это \(0\), \(1\), \(2\), а в шестнадцатеричной — цифры \(0\)–\(9\) и буквы \(A\)–\(F\), соответствующие значениям от \(10\) до \(15\).
Запись целого неотрицательного числа обычно не начинается с нуля. Первая цифра слева называется старшей цифрой, а её разряд — старшим разрядом. Чем левее расположен разряд, тем больше его вес: единицы, \(b\), \(b^2\), \(b^3\) и так далее. Подробно это связано с позиционной системой счисления и значением цифры в разряде.
Два числа имеют одну длину записи, если в их стандартных записях одинаковое количество цифр. Например, \(231_4\) и \(102_4\) имеют по три цифры, а \(23_4\) — две.
При сравнении неотрицательных целых чисел в одной системе счисления сначала сравнивают количество цифр. Если длины равны, сравнивают цифры слева направо до первого различия.
Сравнение по длине записи
Для стандартных записей положительных целых чисел действует простое правило: больше цифр — больше число. Причина в том, что первая цифра многозначного числа ненулевая, поэтому число с \(n+1\) цифрами не меньше \(b^n\), а число с не более чем \(n\) цифрами меньше \(b^n\).
Например, \(100_2\) больше любого двузначного двоичного числа: двузначные записи не превосходят \(11_2\), то есть \(3_{10}\), а \(100_2=4_{10}\). Аналогично любое четырёхзначное число в пятеричной системе больше любого трёхзначного числа в этой системе.
Правило о длине относится к стандартным записям без ведущих нулей. Записи \(007_8\) и \(7_8\) обозначают одно и то же число, хотя формально имеют разную длину. В задачах сначала уберите ведущие нули или дополните обе записи нулями слева до одинаковой длины.
Сравнение одинаковых по длине записей
Если количество цифр одинаково, сравнение начинают со старшей цифры. Цифра в более старшем разряде важнее всех цифр справа от неё вместе взятых. Поэтому первая отличающаяся цифра полностью определяет результат.
Иными словами, если старшие цифры совпадают, их мысленно отбрасывают и переходят к следующему разряду. Как только обнаружились разные цифры, дальнейшие разряды уже не важны.
- Выровнять записи по правому краю и проверить ведущие нули.
- Сравнить число цифр.
- Если длины равны, сравнивать цифры слева направо.
- Остановиться на первой паре различных цифр.
- Записать знак \(<\), \(>\) или \(=\).
Какое число больше: \(1001_2\) или \(111_2\)?
Разобранный пример
Определим, какое число больше: \(57236_8\) или \(57402_8\).
Обратите внимание: перевод в десятичную систему здесь не нужен. Если всё же выполнить разрядную запись, результат будет тем же: различие на разряде \(8^2\) даёт преимущество \(2\cdot8^2\) у второго числа, а меньшие разряды не способны его компенсировать. Такой подход опирается на разрядную запись числа.
Особые случаи и запись результата
Если одно из чисел равно нулю, оно меньше любого положительного числа. В любой системе счисления ноль записывается цифрой \(0\). Если две записи после удаления ведущих нулей совпадают, числа равны.
Для дробных чисел правило похоже, но сравнивать нужно целую часть, а затем цифры после запятой слева направо. Если количество цифр после запятой различается, запись можно дополнить нулями справа: \(0,5_ {10}=0,50_{10}\). Для целых чисел нули справа означают уже другие разряды, поэтому дописывать их справа нельзя: \(12_5\ne120_5\).
| Ситуация | Действие | Пример |
|---|---|---|
| Разная длина стандартных записей | Больше число с большим количеством цифр | \(234_5>43_5\) |
| Одинаковая длина | Сравнить цифры слева направо | \(431_6>425_6\) |
| Первое различие найдено | Остановить сравнение | \(72A_{16}>729_{16}\) |
| Ведущие нули | Удалить или выровнять записи | \(007_8=7_8\) |
1. Сравнивать числа по первой встретившейся цифре, не учитывая её разряд. 2. Считать, что большая последняя цифра делает всё число большим. 3. Переводить в десятичную систему, хотя сравнение уже очевидно. 4. Путать основание системы с цифрой: в системе с основанием \(b\) цифра \(b\) недопустима. 5. Дописывать нули справа к целой записи и считать число тем же самым.
Представьте записи как слова одинаковой длины и сравнивайте их лексикографически, но только после того, как убедились, что цифры имеют допустимые значения в данной системе. Сначала смотрите налево, а не направо.
Связь с задачами по системам счисления
В экзаменационных задачах сравнение может быть частью более длинного рассуждения: нужно выбрать наибольшее число, проверить условие на диапазон или установить порядок нескольких значений. Тогда удобно применять общий алгоритм решения задач на системы счисления, а корректность цифр проверять по правилам проверки записи числа.
Если основание неизвестно, сначала выясняют ограничения на него: основание больше любой использованной цифры. После этого сравнение записей иногда выполняется без нахождения самого основания. При необходимости разбор переходят к задачам на неизвестное основание.
Проверь себя
Главное
- В стандартных записях неотрицательных целых чисел больше цифр — больше число.
- При одинаковой длине сравнивают цифры слева направо.
- Результат определяет первая отличающаяся цифра: чем она больше, тем больше число.
- Ведущие нули значения не меняют; их нужно удалить или учитывать отдельно.
- Перевод в десятичную систему не нужен, если порядок определяется длиной и старшими разрядами.