ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 1, 10, 12, 16 · ОГЭ

Алгоритм шешімдер тапсырма на системы счисления

Пошаговый выбор способа шешімдер тапсырма на перевод, разряды, остатки и арифметические операции
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Задачи на системы счисления удобно решать не перебором, а по устойчивому алгоритму: определить, что требуется найти, выбрать представление числа, выполнить вычисления и проверить допустимость цифр. Эта страница помогает быстро выбрать метод для заданий на перевод, разрядную запись, остатки и арифметические операции.

1. Определите тип тапсырма

Сначала выпишите все данные и вопрос задачи. Особое внимание уделите основаниям систем счисления: основание \(p\) должно быть целым числом больше \(1\), а каждая цифра должна быть меньше \(p\). Если в жазбалар встречается цифра, равная или большая основания, жазба неверна.

  1. Нужно перевести число в десятичную систему — используйте разрядную жазба и степени основания.
  2. Нужно перевести десятичное целое число в систему с основанием \(p\) — последовательно делите число на \(p\) и записывайте остатки.
  3. Нужно перевести дробную часть — последовательно умножайте её на основание \(p\).
  4. Нужно найти цифру, разряд или значение цифры — разложите число по степеням основания.
  5. Нужно найти остаток от деления — применяйте деление с остатком или свойства степеней.
  6. Нужно сложить, вычесть или умножить записи в одной системе — выполняйте обычную арифметику, учитывая переносы и основание.
  7. Неизвестно основание — составьте равенство значений Жазбалар в десятичной системе и решите уравнение.
Жылдам выбор метода

Если в условии есть слова «перевести», выбирайте алгоритм перевода. Если спрашивают «какая цифра стоит в разряде» или «чему равно значение цифры», используйте разрядную запись. Если есть «остаток», не переводите всё число без необходимости: примените деление с остатком или вычисления по модулю.

2. Разрядная жазба и перевод в десятичную систему

Любая позиционная запись определяется основанием системы и значениями разрядов. Справа налево разряды имеют номера \(0,1,2,\ldots\). Цифра в разряде с номером \(i\) умножается на \(p^i\). Подробнее см. разрядную жазба числа и значение цифры в разряде.

D
Разрядная жазба

Запись целого числа \(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0\) в системе с основанием \(p\) означает сумму произведений цифр на степени основания: цифра \(a_i\) занимает разряд \(i\) и имеет значение \(a_i\cdot p^i\).

\[(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0)_p=a_n\cdot p^n+a_{n-1}\cdot p^{n-1}+\ldots+a_1\cdot p+a_0\]

Чтобы перевести целое число в десятичную систему, пронумеруйте разряды справа налево, умножьте каждую цифру на соответствующую степень основания и сложите результаты. Нулевые слагаемые можно пропускать. Для дробной части используются отрицательные степени: первая цифра после запятой умножается на \(p^{-1}\), следующая — на \(p^{-2}\).

\[(a_0,a_1a_2\ldots)_p=a_0+a_1\cdot p^{-1}+a_2\cdot p^{-2}+\ldots\]
T
Проверка жазбалар

В системе с основанием \(p\) допустимы цифры от \(0\) до \(p-1\). Например, в восьмеричной системе нельзя использовать цифры 8 и 9. При переводе полезно оценить порядок числа: запись из \(n+1\) разрядов с первой ненулевой цифрой имеет значение от \(p^n\) до \(p^{n+1}-1\).

3. Перевод из десятичной системы

Для перевода целого десятичного числа \(N\) в систему с основанием \(p\) применяют последовательное деление. Остаток первого деления становится младшей цифрой, поэтому полученные остатки читают снизу вверх. Это обратный процесс к разрядной записи.

\[N=q_0p+r_0,\quad 0\le r_0<p;\qquad q_0=q_1p+r_1;\quad \ldots\]
  1. Разделите число на основание \(p\).
  2. Запишите остаток \(r\), он является очередной цифрой справа.
  3. Замените число частным и повторяйте деление, пока частное не станет равно нулю.
  4. Прочитайте остатки в обратном порядке.

Для перевода правильной дроби \(f\) умножайте её на \(p\). Целая часть первого произведения — первая цифра после запятой, затем умножайте на \(p\) только дробную часть. Процесс останавливается, если дробная часть стала нулём, или продолжается до требуемой точности.

Микропроверка

Как нужно читать остатки при переводе целого числа из десятичной системы в систему с основанием \(p\)?

4. Остатки и арифметические операции

Если требуется найти последнюю цифру жазбалар числа в системе с основанием \(p\), достаточно найти остаток от деления числа на \(p\). Две последние цифры определяются остатком по модулю \(p^2\), три последние — по модулю \(p^3\).

\[N\bmod p^k\quad\text{определяет последние }k\text{ цифр числа }N\text{ в системе с основанием }p\]

При работе с большими степенями используйте свойства остатков: остаток суммы равен сумме остатков, а остаток произведения — произведению остатков с последующим взятием остатка. Если число задано записью в системе \(p\), его последняя цифра видна сразу, а последние \(k\) цифр можно отделить непосредственным чтением после проверки ведущих нулей.

T
Арифметика в системе с основанием \(p\)

При сложении или умножении цифр перенос в следующий разряд выполняют после деления результата на \(p\). Например, если сумма в разряде равна \(p+r\), записывают цифру \(r\) и переносят \(1\).

Вычитание выполняется с заимствованием из соседнего разряда: занятая единица имеет значение \(p\) единиц текущего разряда. Перед вычислением проверьте, что числа записаны в одной системе. Основные приёмы арифметики разобраны на странице арифметика в системах счисления.

5. Разобранный пример и контроль ответа

Пример: перевести \((231)_4\) в десятичную систему, затем представить результат в системе с основанием \(5\) и найти последнюю цифру полученной жазбалар.

1
Разложим исходную жазба по степеням основания 4; справа налево стоят степени \(4^0,4^1,4^2\).
\(\displaystyle (231)_4=2\cdot4^2+3\cdot4^1+1\cdot4^0\)
2
Вычислим значение выражения.
\(\displaystyle 2\cdot16+3\cdot4+1=32+12+1=45\)
3
Переведём 45 в систему с основанием 5 последовательным делением.
\(\displaystyle 45=9\cdot5+0\)
4
Продолжим деление частного.
\(\displaystyle 9=1\cdot5+4\)
5
Последнее частное равно 1, поэтому остатки читаем снизу вверх.
\(\displaystyle (45)_{10}=(140)_5\)
6
Последняя цифра жазбалар в системе 5 равна остатку от деления 45 на 5.
\(\displaystyle 45\bmod5=0\)
№
Жауап к примеру

\((231)_4=(45)_{10}=(140)_5\). Последняя цифра жазбалар в системе с основанием 5 равна \(0\). Проверка: \(1\cdot5^2+4\cdot5+0=25+20=45\).

!
Частые ошибки

1. Читают остатки при переводе снизу вверх неправильно и получают перевёрнутую запись. 2. Начинают нумеровать разряды слева, хотя разряд единиц имеет номер 0. 3. Используют цифру, недопустимую для основания. 4. Забывают, что в основании \(p\) перенос выполняется через \(p\), а не через 10. 5. При поиске последних цифр считают всё число, хотя достаточно остатка по модулю \(p^k\). 6. Смешивают жазба числа и его значение: \((231)_4\) и 231 — разные числа.

После решения выполните обратную проверку: разложите полученную запись по степеням основания или проверьте результат обратным переводом. Если в ответе требуется одна цифра, убедитесь, что она находится в диапазоне от 0 до \(p-1\). Для задач на неизвестное основание отдельно проверьте, что найденное основание больше любой цифры записи; дополнительные приёмы собраны на странице Шешім тапсырма на неизвестное основание.

Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · разрядная жазба
Чему равно \((102)_3\) в десятичной системе?
Главное за минуту

Главное

  • Сначала определите тип тапсырма и основание системы.
  • Для перевода в десятичную систему используйте сумму цифр, умноженных на степени основания.
  • Для перевода целого числа из десятичной системы последовательно делите на основание, а остатки читайте снизу вверх.
  • Последняя цифра определяется остатком по модулю основания, последние \(k\) цифр — остатком по модулю \(p^k\).
  • Всегда проверяйте допустимость цифр, переносы и ответ обратным вычислением.