Арифметика в системах счисления

Арифметика в системе счисления — это выполнение сложения, вычитания, умножения и деления с учётом её основания и правил переноса между разрядами. Внешне действия похожи на десятичные, но перенос возникает при достижении не 10, а основания системы.

В системе с основанием \(q\) используются цифры от \(0\) до \(q-1\). При сложении цифр младшего разряда, если результат не меньше \(q\), из него вычитают \(q\), а единицу переносят в следующий разряд. При вычитании, если цифры не хватает, занимают единицу у соседнего старшего разряда: она превращается в \(q\) единиц текущего разряда.

Основные правила

• Складывают и вычитают числа поразрядно, начиная с младшего разряда.
• При сложении перенос равен \(1\), если сумма цифр с учётом предыдущего переноса не меньше \(q\).
• При вычитании заём из старшего разряда добавляет к текущей цифре \(q\).
• Умножение выполняют по обычному алгоритму, но все промежуточные результаты записывают в выбранной системе.
• Деление с остатком удовлетворяет равенству \(a=b\cdot c+r\), где \(0\le r<q\) для одного разряда остатка.

Здесь \(a_i\) и \(b_i\) — цифры складываемых чисел в разряде \(i\), \(c_i\) — перенос из предыдущего разряда, \(c_{i+1}\) — перенос в следующий разряд, а \(s_i\) — цифра результата.

Для проверки результата можно перевести числа в десятичную систему или выполнить обратную операцию. При решении экзаменационных задач полезно также учитывать разряды числа и не записывать цифру, недопустимую в данной системе.