ЕГЭОГЭ
Задание № 2 · ОГЭ

Задачи на системы счисления

Алгоритмы перевода чисел, определения основания и выполнения арифметических операций
6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Системы счисления нужны для записи и обработки числовой информации. На экзамене важно уметь переводить числа между системами, находить неизвестное основание и выполнять арифметические действия, не смешивая правила разных систем.

1. Позиционная запись и основание

В позиционной системе значение цифры зависит от её места в записи. Основание системы \(q\) показывает, сколько различных цифр используется: от \(0\) до \(q-1\). Например, в десятичной системе основание равно \(10\), а в двоичной — \(2\). Подробнее о записи числа и его месте в разряде см. в статьях позиционная система счисления и разряд числа.

D
Основание системы счисления

Основание \(q\) — целое число \(q\ge 2\), определяющее набор цифр и веса разрядов. В системе с основанием \(q\) допустимы цифры \(0,1,\ldots,q-1\).

\[(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0)_q=a_nq^n+a_{n-1}q^{n-1}+\ldots+a_1q+a_0\]

Индекс в скобках — основание системы. Если индекс не указан, обычно подразумевается десятичная система. Запись \((1011)_2\) означает не число «одна тысяча одиннадцать», а сумму \(1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2+1\).

T
Проверка допустимости цифр

Каждая цифра записи должна быть меньше основания: \(0\le a_i<q\). Поэтому цифра \(8\) недопустима в восьмеричной системе, а цифра \(2\) недопустима в двоичной.

2. Перевод чисел между системами

Перед решением полезно повторить алгоритмы на странице перевод чисел между системами счисления. Для перевода целого числа из системы с основанием \(q\) в десятичную используют разложение по степеням основания.

  1. Запишите разряды числа справа налево: нулевой разряд имеет вес \(q^0=1\).
  2. Умножьте каждую цифру на соответствующую степень основания.
  3. Сложите полученные произведения.
\[(a_na_{n-1}\ldots a_0)_q=\sum_{i=0}^{n}a_iq^i\]

Для обратного перевода из десятичной системы в систему с основанием \(q\) число последовательно делят на \(q\). Остатки записывают снизу вверх: последний полученный остаток становится первой цифрой результата.

Быстрый способ для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем

Восьмеричное число можно переводить в двоичное заменой каждой цифры на три двоичных разряда: \(0\to000\), \(7\to111\). Для шестнадцатеричной системы используют группы по четыре бита. Нули слева в первой группе можно убрать.

Микро-проверка

Какое десятичное значение имеет число \((10101)_2\)?

3. Как найти неизвестное основание

В заданиях экзамена может быть дана запись числа и его значение в десятичной системе, например \((132)_q=60\). Тогда составляют уравнение по разрядам. Неизвестное основание входит в степени, поэтому сначала раскрывают позиционную запись, а затем решают уравнение.

T
Уравнение по записи числа

Если \((a_na_{n-1}\ldots a_0)_q=N\), то основание находят из уравнения \(a_nq^n+a_{n-1}q^{n-1}+\ldots+a_0=N\). После решения обязательно проверяют \(q\ge2\) и \(q>a_i\) для всех цифр.

Разобранный пример: поиск основания

Найдём основание \(q\), если \((132)_q=60\). Цифра \(3\) уже показывает, что \(q>3\).

1
Разряды числа \(132\) имеют веса \(q^2\), \(q\) и \(1\).
\(\displaystyle (132)_q=1\cdot q^2+3\cdot q+2\)
2
По условию значение записи равно 60.
\(\displaystyle q^2+3q+2=60\)
3
Перенесём 60 в левую часть и разложим квадратный трёхчлен.
\(\displaystyle q^2+3q-58=0\)
4
Находим корни квадратного уравнения.
\(\displaystyle q=\frac{-3\pm\sqrt{3^2+4\cdot58}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{241}}{2}\)
№
Вывод по примеру

Полученное уравнение не имеет целого корня, значит условие \((132)_q=60\) не задаёт целочисленное основание. Это тоже результат: в корректном экзаменационном задании обычно получается допустимое целое \(q\). Важно не округлять найденное основание. Например, для записи \((132)_q=42\) уравнение \(q^2+3q+2=42\) даёт \(q^2+3q-40=0\), откуда \(q=5\) или \(q=-8\); выбираем \(q=5\), потому что основание положительно и больше цифры 3.

Иногда основание удобно искать перебором. Для короткой записи можно подставлять целые \(q\) от \(m+1\), где \(m\) — максимальная цифра, до разумной границы, пока равенство не выполнится.

4. Арифметические операции в разных системах

Сложение, вычитание и умножение выполняют столбиком почти так же, как в десятичной системе. Отличается правило переноса: перенос происходит после достижения основания \(q\). Основные приёмы собраны также на странице арифметика в системах счисления.

\[q\text{ единиц одного разряда}=1\text{ единица следующего разряда}\]
  • При сложении, если сумма в разряде не меньше \(q\), записывают остаток от деления на \(q\), а \(1\) переносят в следующий разряд.
  • При вычитании, если верхняя цифра меньше нижней, занимают \(1\) единицу старшего разряда. Она равна \(q\) единицам текущего разряда.
  • При умножении промежуточные результаты сдвигают на один разряд влево, как обычно, но все цифры и переносы считают в основании \(q\).
№
Сложение в восьмеричной системе

Рассмотрим \((57)_8+(26)_8\). В разряде единиц: \(7+6=13_{10}=15_8\), записываем \(5\), переносим \(1\). В разряде восьмёрок: \(5+2+1=8_{10}=10_8\), записываем \(0\), переносим \(1\). Ответ: \((105)_8\).

\[(57)_8+(26)_8=(105)_8\]

Проверка переводом в десятичную систему: \(57_8=47\), \(26_8=22\), сумма \(69\), а \(105_8=1\cdot64+0\cdot8+5=69\).

5. Экзаменационный алгоритм и ошибки

  1. Определите, что требуется: перевод, поиск основания или арифметическая операция.
  2. Выпишите основание возле каждой записи и проверьте допустимость цифр.
  3. Для перевода в десятичную раскройте разряды; для обратного перевода применяйте деление с остатком.
  4. При неизвестном основании составьте уравнение и оставьте только целые допустимые решения.
  5. Проверьте ответ обратным переводом или подстановкой.
!
Частые ошибки

Путают цифру и число: в основании \(q\) цифра \(q\) недопустима. Читают остатки не в том порядке: при последовательном делении их записывают снизу вверх. Забывают перенос: в двоичной системе \(1+1=10_2\), а не \(2\). Решают квадратное уравнение и берут оба корня: отрицательное основание не подходит. Смешивают основания: выражение \(7+5=14\) верно в десятичной системе, но в восьмеричной записи результат будет \(14_8\), если сумма равна \(12_{10}\).

Что выучить

Вес разряда справа налево: \(q^0,q^1,q^2,\ldots\). Перевод в десятичную систему — сумма цифр, умноженных на веса. Перевод из десятичной — деление на основание и чтение остатков снизу вверх.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · перевод
Чему равно \((10110)_2\) в десятичной системе?
Главное за минуту

Главное

  • Основание \(q\) определяет допустимые цифры и веса разрядов \(q^0,q^1,q^2,\ldots\).
  • Для перевода в десятичную систему раскладывают запись по степеням основания.
  • Для обратного перевода делят число на новое основание, а остатки читают снизу вверх.
  • Неизвестное основание находят из уравнения по разрядам и проверяют допустимость корня.
  • В арифметике перенос выполняют каждый раз, когда значение разряда достигает основания.