Шешімі: Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} \sin^2 x + \cos y = 1 \\ \cos^2 x + \cos y = 1 \e
Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} \sin^2 x + \cos y = 1 \\ \cos^2 x + \cos y = 1 \end{cases}$
Шешім по шагам
5 қадамВычитаем первое уравнение из второго: (cos²x + cos y) - (sin²x + cos y) = 1 - 1 → cos²x - sin²x = 0.
$$cos^2 x - \sin^2 x = 0$$Это упрощается до cos 2x = 0 → 2x = π/2 + πk → x = π/4 + πk/2, k ∈ ℤ.
$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}$$Подставляем в первое уравнение: sin²x + cos y = 1. Поскольку sin²x = 1 - cos²x, а из первого уравнения системы следует sin²x = 1 - cos y, то можно заметить, что при выполнении обоих уравнений необходимо sin²x = cos²x (из их равенства через cos y). Это выполняется, когда |sin x| = |cos x| → x = π/4 + πk/2, что уже найдено. Тогда sin²x = 1/2.
$$\sin^2 x = \frac{1}{2}$$Подставляем: 1/2 + cos y = 1 → cos y = 1/2 → y = ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.
$$y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$Таким образом, Шешім: x = π/4 + πk/2, y = ±π/3 + 2πn, k, n ∈ ℤ — это нұсқа A.
Где здесь ошибаются
Неправильное упрощение cos²x - sin²x = 0 как cos x = 0 или sin x = 0 (ведет к вариантам C или D)
Ошибка в периоде для y: взятие y = ±π/3 + πn вместо 2πn (нұсқа B)
Неучет того, что sin²x = cos²x при x = π/4 + πk/2, а не только при π/4 + 2πk