Решение: Изображения двух источников линзой
Два точечных источника света расположены на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии $L$ друг от друга. Линза находится между ними. Расстояние от линзы до одного из источников $x = 50\ \text{см}$. Изображения обоих источников получаются в одной точке. Найдите расстояние $L$, если оптическая сила линзы $D = 1{,}5\ \text{дптр}$. Постройте на отдельных рисунках изображения двух источников в линзе, указав ход лучей.
Решение по шагам
6 шаговОптическая сила линзы связана с фокусным расстоянием соотношением $D = \dfrac{1}{f}$. Переведём фокусное расстояние в сантиметры:
$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{1{,}5}\,\text{м} = 0{,}667\,\text{м} = 66{,}7\,\text{см}$$Первый источник находится на расстоянии $a_1 = 50\ \text{см}$, то есть между линзой и её фокусом. Поэтому линза создаёт мнимое изображение на той же стороне линзы. Из формулы тонкой линзы:
$$\frac{1}{b_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a_1} = \frac{1}{66{,}7} - \frac{1}{50} = -\frac{1}{200}$$Следовательно, расстояние от линзы до изображения первого источника по модулю равно:
$$|b_1| = 200\,\text{см}$$Второй источник расположен по другую сторону линзы. Его изображение должно попасть в ту же точку, поэтому оно является действительным и находится на расстоянии $b_2 = 200\ \text{см}$ от линзы. Найдём расстояние $a_2$ от линзы до второго источника:
$$\frac{1}{a_2} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b_2} = \frac{1}{66{,}7} - \frac{1}{200} = \frac{1}{100}$$Расстояние от линзы до второго источника равно $a_2 = 100\ \text{см}$. Источники находятся по разные стороны линзы, поэтому расстояние между ними равно сумме расстояний до линзы:
$$L = a_1 + a_2 = 50 + 100 = 150\,\text{см}$$На первом рисунке нужно показать источник между линзой и левым фокусом: после линзы лучи расходятся, а их продолжения назад пересекаются в мнимом изображении на стороне источника. На втором рисунке источник находится дальше фокуса: параллельный главной оптической оси луч после линзы проходит через фокус, а луч через оптический центр идёт прямолинейно; их пересечение даёт действительное изображение в той же точке.
L = 150\ \text{см}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность расстояний до линзы вместо суммы, хотя источники находятся по разные стороны линзы.
Считают изображение первого источника действительным, несмотря на то что источник расположен между линзой и фокусом.
Не учитывают знак расстояния до мнимого изображения.
На рисунке не показывают продолжения расходящихся лучей назад для построения мнимого изображения.