Решение: Энергия конденсатора в батарее
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью $C_1 = 2C$, $C_2 = C$, $C_3 = 4C$ и $C_4 = 2C$ подключена к источнику постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ (см. рисунок). Определите энергию конденсатора $C_1$.
Решение по шагам
5 шаговКонденсаторы $C_1$ и $C_3$ подключены параллельно, как и конденсаторы $C_2$ и $C_4$. Эквивалентные ёмкости групп равны
$$C_{13} = C_1 + C_3 = 2C + 4C = 6C,\quad C_{24} = C_2 + C_4 = C + 2C = 3C$$Две получившиеся группы соединены последовательно. Их эквивалентная ёмкость
$$C_{\text{экв}} = \frac{C_{13}C_{24}}{C_{13}+C_{24}} = \frac{6C\cdot 3C}{6C+3C} = 2C$$В установившемся режиме ток через источник отсутствует, поэтому падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно нулю. Напряжение на всей батарее равно ЭДС источника, а заряд последовательно соединённых групп
$$Q = C_{\text{экв}}\mathcal{E} = 2C\mathcal{E}$$Напряжение на группе $C_1$, $C_3$ определяется её зарядом и эквивалентной ёмкостью
$$U_{13} = \frac{Q}{C_{13}} = \frac{2C\mathcal{E}}{6C} = \frac{\mathcal{E}}{3}$$При параллельном соединении напряжение на конденсаторе $C_1$ такое же, как на всей группе $C_1$, $C_3$. Поэтому энергия конденсатора $C_1$ равна
$$W_1 = \frac{C_1U_{13}^2}{2} = \frac{2C}{2}\left(\frac{\mathcal{E}}{3}\right)^2 = \frac{C\mathcal{E}^2}{9}$$$W_1 = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{9}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать конденсаторы $C_1$ и $C_3$ соединёнными последовательно вместо параллельного соединения.
Использовать ЭДС $\mathcal{E}$ как напряжение непосредственно на конденсаторе $C_1$.
Забыть, что при параллельном соединении напряжения на $C_1$ и $C_3$ одинаковы.
Учитывать внутреннее сопротивление $r$ в установившемся режиме зарядки конденсаторов.