Решение: Энергия батареи конденсаторов
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью $C_1 = 2C$, $C_2 = C$, $C_3 = 4C$ и $C_4 = 2C$ подключена к источнику постоянного напряжения с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ (см. рисунок). На сколько и как изменится общая энергия, запасённая в батарее, если в конденсаторе $C_3$ возникнет пробой?
Решение по шагам
7 шаговДо пробоя конденсаторы $C_1$ и $C_3$ соединены параллельно, поэтому их эквивалентная ёмкость равна:
$$C_{左} = C_1 + C_3 = 2C + 4C = 6C$$Конденсаторы $C_2$ и $C_4$ также соединены параллельно:
$$C_{прав} = C_2 + C_4 = C + 2C = 3C$$Две параллельные группы соединены последовательно. Поэтому исходная эквивалентная ёмкость батареи равна:
$$C_{\text{экв,1}} = \frac{C_{лев}C_{прав}}{C_{лев}+C_{прав}} = \frac{6C \cdot 3C}{6C+3C} = 2C$$При пробое конденсатор $C_3$ превращается в проводник и замыкает среднюю точку с левым выводом батареи. Конденсаторы $C_1$ и $C_3$ оказываются зашунтированы, а $C_2$ и $C_4$ подключены параллельно к источнику.
$$C_{\text{экв,2}} = C_2 + C_4 = C + 2C = 3C$$В установившемся режиме напряжение на батарее равно ЭДС источника $\mathcal{E}$. Внутреннее сопротивление $r$ влияет только на переходный процесс, но не на конечную энергию.
$$W = \frac{1}{2}C_{\text{экв}}\mathcal{E}^2$$Исходная и конечная энергии равны:
$$W_1 = \frac{1}{2}\cdot 2C\mathcal{E}^2 = C\mathcal{E}^2,\qquad W_2 = \frac{1}{2}\cdot 3C\mathcal{E}^2 = \frac{3}{2}C\mathcal{E}^2$$Изменение энергии положительно, следовательно, энергия увеличивается:
$$\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{3}{2}C\mathcal{E}^2 - C\mathcal{E}^2 = \frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$$Общая энергия увеличится на $\dfrac{1}{2}C\mathcal{E}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать конденсаторы $C_1$ и $C_3$ или $C_2$ и $C_4$ соединёнными последовательно вместо параллельного соединения.
После пробоя учитывать $C_3$ как обычный конденсатор, а не как проводник.
Использовать ЭДС источника не для конечного установившегося режима.
Считать, что внутреннее сопротивление $r$ изменяет конечную энергию, хотя оно влияет только на переходный процесс.