Решение: Давление после альфа-распада
В открытый контейнер объёмом $50\ \text{мл}$ поместили $1\ \text{г}$ изотопа полония-210. Затем контейнер герметично закрыли. Данный изотоп полония радиоактивен и претерпевает альфа-распад с периодом полураспада примерно $140$ дней, превращаясь в стабильный изотоп свинца. Определите давление внутри контейнера через $5$ недель. Температура как внутри, так и снаружи контейнера в течение эксперимента поддерживается постоянной и равной $45\ ^\circ\text{C}$. Атмосферное давление равно $10^5\ \text{Па}$.
Решение по шагам
5 шаговПосле закрытия контейнера находящийся в нём воздух сохраняет атмосферное давление $p_0=10^5\ \text{Па}$. При распаде полония образуются альфа-частицы, которые превращаются в атомы гелия и увеличивают количество газа.
Переведём время и температуру в необходимые единицы: $t=5\cdot 7=35$ дней, $T=45+273=318\ \text{К}$, $V=50\ \text{мл}=5\cdot10^{-5}\ \text{м}^3$.
Доля распавшихся ядер за время $t$ равна $1-2^{-t/T_{1/2}}$. Поэтому количество вещества образовавшегося гелия составляет
$$\nu_{\mathrm{He}}=\frac{m}{M}\left(1-2^{-t/T_{1/2}}\right)=\frac{1}{210}\left(1-2^{-35/140}\right)\approx7{,}58\cdot10^{-4}\ \text{моль}$$Добавочное давление гелия найдём из уравнения Менделеева—Клапейрона:
$$\Delta p=\frac{\nu_{\mathrm{He}}RT}{V}=\frac{7{,}58\cdot10^{-4}\cdot8{,}31\cdot318}{5\cdot10^{-5}}\approx4{,}0\cdot10^4\ \text{Па}$$Полное давление складывается из начального атмосферного давления и добавочного давления образовавшегося гелия:
$$p=p_0+\Delta p\approx10^5+4{,}0\cdot10^4=1{,}4\cdot10^5\ \text{Па}$$Давление внутри контейнера через 5 недель примерно равно $1{,}4\cdot10^5\ \text{Па}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают только оставшиеся ядра полония, но не образовавшийся в результате альфа-распада гелий.
Используют массу полония как массу образовавшегося гелия вместо расчёта числа распавшихся ядер.
Забывают прибавить добавочное давление гелия к начальному атмосферному давлению.
Подставляют объём $50\ \text{мл}$ без перевода в кубические метры.
Используют температуру $45$ вместо абсолютной температуры $318\ \text{К}$.