Решение: Жёсткость пружины газа
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью $S$ находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно $L$, а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению $p_0$ (см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты $Q$, и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние $b$. Чему равна жёсткость пружины $k$?
Считайте, что процесс протекает медленно, а начальная пружина не деформирована.
Решение по шагам
8 шаговВ начальном состоянии давление газа равно атмосферному, поэтому пружина не деформирована. Начальный объём газа равен $V_1 = SL$.
После перемещения поршня объём газа становится равным $V_2 = S(L+b)$. Сила упругости пружины равна $kb$, поэтому из условия равновесия поршня давление газа в конечном состоянии равно
$$p_2S = p_0S + kb,\qquad p_2 = p_0 + \frac{kb}{S}$$Работа газа складывается из работы против атмосферного давления и работы против упругой силы пружины:
$$A = p_0Sb + \int_0^b kx\,dx = p_0Sb + \frac{kb^2}{2}$$Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии можно выразить через величину $pV$:
$$\Delta U = \frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)$$Подставим параметры начального и конечного состояний:
$$\Delta U = \frac{3}{2}\left[\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)S(L+b)-p_0SL\right] = \frac{3}{2}\left[p_0Sb+kb(L+b)\right]$$По первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A$:
$$Q = \frac{3}{2}\left[p_0Sb+kb(L+b)\right] + p_0Sb + \frac{kb^2}{2}$$Сгруппируем слагаемые и выразим жёсткость пружины:
$$Q = \frac{5}{2}p_0Sb + k\left(\frac{3}{2}Lb+2b^2\right)$$Отсюда
$$k = \frac{Q-\frac{5}{2}p_0Sb}{\frac{3}{2}Lb+2b^2} = \frac{2Q-5p_0Sb}{b(3L+4b)}$$$k = \dfrac{2Q-5p_0Sb}{b(3L+4b)}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают работу газа против атмосферного давления.
Считают работу пружины равной $k b^2$ вместо $\dfrac{kb^2}{2}$.
Используют формулу изменения внутренней энергии с коэффициентом $\dfrac{5}{2}$ вместо $\dfrac{3}{2}$ для одноатомного газа.
Не учитывают изменение давления газа при растяжении пружины.