Решение: Нагрев ртути при вращении
В открытой пробирке, вращающейся в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega_1 = 10\ \mathrm{с^{-1}}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через край пробирки, находится столбик ртути длиной $h = 1\ \mathrm{см}$, центр которого отстоит от оси вращения на расстояние $r = 20\ \mathrm{см}$. До какой температуры $T_2$ надо нагреть пробирку, чтобы при увеличении угловой скорости в 4 раза столбик ртути не сместился? Начальная температура $t_1 = 0\ ^\circ\mathrm{C}$, внешнее атмосферное давление $p_0 = 10^5\ \mathrm{Па}$.
Считать плотность ртути равной $\rho = 1{,}36 \cdot 10^4\ \mathrm{кг/м^3}$, а газ в пробирке — идеальным. Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение по шагам
7 шаговТак как столбик ртути не смещается, объём газа в пробирке остаётся постоянным. Давление газа у внешнего конца столбика превышает атмосферное давление на величину центробежного давления ртути.
$$p = p_0 + \rho\omega^2rh$$При начальной угловой скорости избыточное давление равно:
$$\Delta p_1 = \rho\omega_1^2rh = 1{,}36\cdot10^4\cdot10^2\cdot0{,}20\cdot0{,}01 = 2720\ \mathrm{Па}$$Начальное давление газа и начальная абсолютная температура равны:
$$p_1 = 10^5 + 2720 = 102720\ \mathrm{Па},\qquad T_1 = 273\ \mathrm{К}$$После увеличения угловой скорости в 4 раза избыточное давление возрастает в 16 раз:
$$\Delta p_2 = \rho(4\omega_1)^2rh = 16\Delta p_1 = 43520\ \mathrm{Па}$$Конечное давление газа:
$$p_2 = p_0 + \Delta p_2 = 143520\ \mathrm{Па}$$При постоянном объёме газа применяем закон Шарля:
$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2},\qquad T_2=T_1\frac{p_2}{p_1}=273\cdot\frac{143520}{102720}\approx381{,}2\ \mathrm{К}$$Переводим конечную температуру в градусы Цельсия:
$$t_2=T_2-273\approx108\ ^\circ\mathrm{C}$$T_2 \approx 381\ \mathrm{К}, или t_2 \approx 108\ ^\circ\mathrm{C}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают увеличение давления только в 4 раза, хотя давление пропорционально квадрату угловой скорости.
Используют температуру $0\ ^\circ\mathrm{C}$ непосредственно в законе Шарля вместо $273\ \mathrm{К}$.
Не прибавляют атмосферное давление к давлению, создаваемому вращением ртути.
Путают конечную температуру в кельвинах с температурой в градусах Цельсия.